Equivalenza tra due definizioni di una categoria con oggetti esponenziali

Question

Si dice che una categoria con prodotti abbia esponenziali se per tutti gli oggetti$x, y$ esiste un oggetto $y^x$ dotato di una freccia $e\colon x\times y^x\to y$ tale che per tutti gli oggetti $z$ e tutte le frecce $f\colon x\times z\to y$ c'è una freccia unica $\bar{f}\colon z\to y^x$ soddisfacente $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Vedo che se una categoria ha esponenziali, allora $f\mapsto \bar{f}$ è un isomorfismo naturale tra $hom(x\times z, y)$ e $hom(z, y^x)$ con inverso $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Da qui il funtore$x\times (-)$ è lasciato aggiunto a $(-)^x$.

Mi chiedo il contrario: se $C$ è una categoria con prodotti tali che $x\times (-)$ ha un diritto aggiunto, ne segue? $C$ ha esponenziali?

In particolare, se lo assumiamo $x\times (-)$ ha un diritto aggiunto, come ci equipaggiamo $y^x$ con la freccia $e\colon x\times y^x\to y$. Inoltre, come deduciamo che l'equazione$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ tiene precisamente?

In qualche modo l'esistenza di un diritto aggiunto di $x\times (-)$ sembra più debole e più astratta della definizione di proprietà universale di una categoria con esponenziali data sopra.

Answer 1

Suppongo che sia necessario AC per scegliere un oggetto $y^x$ per ciascuno $x$ e $y$.

Accettando questo, si ottiene la freccia $e$dal formalismo di unità / paesi in aggiunta. Se$F$ è un diritto aggiunto di $x\times(-)$ poi naturalmente, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Prendere $a=Fy$. Poi$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ L'identità a sinistra corrisponde a un omomorfismo $e:x\times Fy\to y$sulla destra. Stiamo denotando$Fy$ come $y^x$, e questo $e:x\times y^x\to y$ è la mappa esponenziale.