Esattamente un inverso a destra implica invertibile?
Lo so, in un ring con identità$R$, Se$a$ha esattamente un inverso destro$b$, poi$a$è invertibile. Infatti:
$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$
affinché$ba-1+b=b$, così$ba=1$.
Tuttavia, è ancora vero per qualsiasi monoide, cioè se, in un monoide$X$,$a$ha esattamente un inverso destro$b$, allora è$a$invertibile?
Se$X$è finito, allora la risposta è sì. Infatti, in un monoide finito$X$, Se$a$ha qualche inverso giusto$b$, poi$x\mapsto xa$è una funzione iniettiva di$X$a se stesso, quindi per finitezza di$X$la funzione è suriettiva, quindi c'è a$c$tale che$ca=1$, dunque$a$è invertibile.
Risposte
La risposta è "no" per i monoidi. Consideriamo il monoide ( biciclico ).$B$generato da 2 funzioni$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. La funzione$p$è lo spostamento:$p(n)=n+1$. La funzione$q$è lo pseudoinverso di$p$:$q(n)=n-1$Se$n>1$e$q(1)=1$. Quindi$pq=1$($p$agisce prima) così$q$è un inverso a destra di$p$. Da ciò segue immediatamente che ogni elemento da$B$ha la forma$q^kp^m$per alcuni numeri interi non negativi$k,m$. Ciò implica facilmente anche quello$p$non ha altri inversi retti in$B$. Ma$p$non ha un inverso poiché$qp\ne 1$.