Esiste sempre una funzione $ f $ per cui $ Y - f ( X ) $ e $ X $ sono indipendenti?

Question

Permettere $ X $ e $ Y $ essere variabili casuali reali.

Esiste sempre una funzione $ f $ per cui $ Y - f ( X ) $ e $ X $ sono indipendenti?

Ho provato a provare l'affermazione, ma non ci sono riuscito.

Se l'affermazione è falsa, devono esistere variabili casuali $ X $ e $ Y $ tale che per qualsiasi funzione $ f $, $ Y - f ( X ) $ e $ X $non sono indipendenti.

Ma non sono nemmeno riuscito a trovare una tale coppia di variabili casuali $ X $ e $ Y $.

Apprezzerei qualsiasi consiglio o suggerimento!

Answer 1

No, ma esiste un file $f(X)$ in modo che non siano correlati.

Due variabili $X$ e $Y$ sono indipendenti se la distribuzione di probabilità di $Y|X$ non dipende da $X$. Ritenere$Y|X \sim N(0, X^{2})$, poi $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ da cui dipende ancora $X$ per qualsiasi funzione $f$.

Se definiamo $E[f(X)]$ così che $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, poi $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Ad esempio, let$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ essere lineare.

Answer 2

Permettere $\Omega = \{a,b,c\}$ essere uno spazio di probabilità con tre risultati, ciascuno con probabilità $1/3$. Permettere$X = 1_{\{a\}}$ e $Y = 1_{\{b\}}$. Puoi verificarlo se$A,B$sono eventi indipendenti in questo spazio, quindi uno di essi deve avere probabilità 0 o 1; di conseguenza, qualsiasi variabile casuale indipendente da$X$deve essere costante. Ma$Y-f(X)$ non può mai essere costante, poiché assumerà necessariamente valori diversi a $b$ e $c$.