Esiste una funzione verde per il p-laplaciano?

Question

La funzione di Green è definita per un operatore differenziale lineare $L$ come soluzione dell'equazione $LG = \delta$, dove $\delta$è la funzione delta di Dirac. Una conseguenza diretta della definizione di$G$ è questa la soluzione del problema $Lu = f$ è la convoluzione $G*f$, dove $G$ è la funzione del verde.

Sono interessato a sapere se esiste una soluzione all'equazione: $$ \Delta_p G = \delta $$ in qualche dominio delimitato $\Omega$ con qualche condizione al contorno, dove $\Delta_p$ è il $p$-Laplacian definito da: $$ \Delta_p u = div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u), $$ con $p\neq 2$ (il caso $p=2$è il laplaciano). So che non sarò in grado di costruire soluzioni al problema$\Delta_p u = f$ dalla convoluzione $G*f$, perché $\Delta_p$ è non lineare.

Non ho trovato alcun documento su questo problema, quindi penso che forse sia un problema molto difficile o forse è risaputo che non esiste una soluzione. Apprezzerei se mi illuminassi su questo problema.

Answer 1

Permettere $\omega_d = |\mathbb{S}^{d-1}| = \frac{2\,\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ e $p>\frac{d-1}{d+1}$ verifica $p\neq d-1$. Una soluzione dell'equazione$$ \Delta_p u = \delta_0 $$ in $\mathbb{R}^d$ è $$ u = \tfrac{p}{p+1-d} \frac{1}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{(d-1)}{p}-1}}. $$ Come dici tu, questo non è utile per risolvere l'equazione con un altro lato destro, poiché $\Delta_p$non è lineare. Pertanto, non la chiamerei la funzione Green.

Nota: quando$p=d-1$, la stessa procedura darà $u = C\,\ln(|x|)$.

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Prova: per una tale funzione$u$, infatti, uno ha $$ ∇u = \frac{x}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{d-1}{p}+1}} $$ così che $$ |∇u|^p = \frac{1}{\omega_d\,|x|^{d-1}} = \left|\frac{x}{\omega_d\,|x|^{d}}\right| = |∇G_1| $$ dove $G_1 = \frac{-1}{(d-2)\,\omega_d\,|x|^{d-2}}$ è la soluzione dell'equazione di Laplace $\Delta G_1 = \delta_0$. Pertanto, da allora$|∇u|^{p-1}∇u$ e $∇G_1$ sono paralleli, della stessa direzione e della stessa norma, deduciamo $|∇u|^{p-1}∇u = ∇G_1$, così che $$ \Delta_p u = \mathrm{div}(|∇u|^{p-1}∇u) = \mathrm{div}(∇G_1) = \Delta G_1 = \delta_0. $$