Esistenza di misura di probabilità sul cerchio con coefficienti di Fourier dati

Aug 20 2020

Diciamo che un simmetrico Hermitiano (cioè $f_{-n} = f_n^*$ per ogni $n \in \mathbb{Z})$ sequenza $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ è definito positivo se, per qualsiasi $N \geq 0$ e qualsiasi $z_0 , \ldots, z_N \in \mathbb{C}$, \ begin {equation} \ sum_ {n, m = 0} ^ N f_ {nm} z_n z_m ^ * \ geq 0. \ tag {1} \ end {equation}

Secondo il teorema di Herglotz-Bochner, una sequenza simmetrica Hermitiana $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ con $f_0 = 1$ è definita positiva se e solo se esiste una misura di probabilità $\mu$ nel cerchio $\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$tale che \ begin {equation} f_n = \ hat {\ mu} _n: = \ int _ {\ mathbb {T}} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} nx} \ mathrm {d} \ mu (x). \ end {equation}

Supponiamo ora che mi venga fornito un vettore $(f_{-N_0} , \ldots, f_0 , \ldots , f_{N_0}) \in \mathbb{C}^{2N_0+1}$ tale che $f_0 = 1$ e $f_{-n} = f_n^*$ per ogni $|n|\leq N_0$ e tale che (1) vale per qualsiasi $N \leq N_0$. È sempre possibile completare il vettore$(f_n)_{|n|\leq N_0}$ in una sequenza definita positiva $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$o, equivalentemente, c'è sempre una misura di probabilità $\mu$ nel $\mathbb{T}$ tale che $\hat{\mu}_n = f_n$ per $|n|\leq N_0$?

Risposte

5 ChristianRemling Aug 20 2020 at 07:56

Sì, funziona. La condizione (1) lo dice$\int |p(e^{ix})|^2\, d\mu(x)\ge 0$ per ogni polinomio $p(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$. Per il teorema di Fejer-Riesz , questi quadrati$|p|^2$ gamma esattamente sopra i polinomi trigonometrici $f=\sum_{|n|\le N} f_n z^n$ con $f\ge 0$ su $|z|=1$.

Quindi abbiamo un funzionale lineare positivo su questo spazio vettoriale $\{ f = \sum_{|n|\le N} f_n z^n \}$. Questo può essere esteso a un funzionale lineare positivo su$C(T)$; vedere qui per lo sfondo. Questa estensione ci dà la misura desiderata.