Espansione asintotica della funzione ipergeometrica${}_3F_2$per grandi parametri

Question

Ho incontrato la seguente funzione ipergeometrica nella mia ricerca:$${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$dove$0<z<1$. Sono interessato al suo comportamento per i grandi$n$. Il grafico semilog suggerisce un aumento esponenziale di$n$, tuttavia, ho difficoltà a derivare l'espressione per l'espansione asintotica. Ci sono molti riferimenti al volume del 1969 di Yudell Luke. L'ho scansionato inutilmente per un risultato che si adatta alla formula sopra. Sono un semplice informatico e non ho familiarità con la letteratura sulle funzioni ipergeometriche (che sembra piuttosto ampia). Gradirei qualsiasi aiuto.

Answer 1

Di seguito è riportata una valutazione in forma chiusa in termini di funzioni semplici. Permettere$y=z/(z-1).$Quindi$${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$L'ho dimostrato usando le proprietà del simbolo Pochhammer, che mi porta a una combinazione lineare di${}_2F_1.$Quindi ho usato una trasformazione lineare per ottenere dall'argomento$z$a$y.$Quella serie può essere manipolata per dare il logaritmo e una somma finita. Variabile$y$è sempre negativo, ma se è piccolo, la somma convergerà rapidamente. Se lo metti su un computer, fai attenzione ai grandi negativi$y,$che si verifica per$z$vicino a 1. Nella somma finita, probabilmente aggiungerei i termini a coppie. Se la$z\sim 1$case è il tuo caso più importante, allora probabilmente vale la pena pensarci ancora un po'.

Aggiunto: La somma per$z\sim 1$può essere fatto da un'espansione trovata in "Espansioni asintotiche relative alle serie logaritmiche e alle relative somme trigonometriche", G. Fikioris & P. ​​Andrianesis, J. Class. Analisi vol 7 # 2, (2015) 113-127.$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$dove il$A_k(y)$sono i polinomi euleriani e iniziano con$A_0(y)=1$e$A_1(y) = y.$