Evoluzione temporale della funzione Wigner

Question

La funzione Wigner è definita come: $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ Dove $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. Dovrei trovare l'evoluzione temporale della funzione di Wigner per l'oscillatore armonico partendo dall'equazione di evoluzione di von Neumann data da:$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$Non so bene come iniziare, perché l'equazione di evoluzione di von Neumann coinvolge il commutatore dell'hamiltoniano e l'operatore di interesse. Tuttavia la funzione Wigner è una funzione, come posso valutare il commutatore?

Answer 1

Partendo dall'equazione di von Neumann: $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ Ora prendiamo la trasformazione di Weyl su entrambi i lati e notiamo che la derivata parziale commuta con la trasformazione e il commutatore viene mappato sulla staffa Moyal: $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ dove la tilde implica la trasformazione di Weyl dell'operatore e $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$Dove la prima derivata parziale agisce a sinistra e la seconda a destra. Ora si può dimostrare che la trasformata di Weyl dell'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico è giusta$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ Ora espandendo la funzione seno in una serie di Taylor otteniamo: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ Ora esprimiamo separatamente il primo termine della somma e otteniamo: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$

Applicando ora il primo termine della somma otteniamo: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$

Il termine a sinistra e i primi due termini a destra fuori dalla somma ricordano precisamente l'equazione di Lioville. Poiché l'Hamiltoniano dell'oscillatore armonico è quadratico in$x$ e $p$ e non ha termini di ordine superiore i termini di ordine superiore svaniscono, lasciandoci con:

$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$