Funzioni p-adiche analitiche che assumono un valore algebrico

Aug 18 2020

Supponiamo che esista$r\in\mathbb R$tale che la funzione p-adica non costante$f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$($a_n\in\mathbb C_p$) è definito su$\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. Esiste$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? Se la risposta è sì, esiste$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Risposte

2 WillSawin Aug 18 2020 at 09:07

Per la prima sì. Senza perdita di generalità per spostamento possiamo assumere$a_1 \neq 0$.

Per$\alpha\in \mathbb Q$, permettere$x_0=0$e$x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. Per verificarlo$x_n$converge come$n$va all'infinito a una radice di$\alpha-f(x)$, è sufficiente verificarlo$v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

Per fare questo, è sufficiente avere$v_p(x_n) \geq s$e$v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$per alcuni$s \in \mathbb R$tale che$v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$per tutti$n > 1$, come allora i contributi di$a_2$e superiore a$\alpha - f(x_{n+1})$sarà dominato dal contributo di$a_1$.

Questo è facile da garantire scegliendo prima tale$s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$per tutti$n>1$(controllando che questa serie sia delimitata sotto) e quindi scegliendo$alpha$tale che$v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, affinché$v_p(x_1-x_0)>s$e quindi induttivamente$v_p(x_{n+1} -x_n) >s$per tutti$n$.

Per il secondo no. Prendi e basta$f(z) = z + b$dove$b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. Da$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$non è numerabile, tale$b$esiste.