Generalizzare il Pfaffiano: famiglie di matrici le cui determinanti sono potenze perfette di polinomi nelle voci

Question

Permettere $n$ essere un numero intero positivo e sia $M = (m_{ij})$ essere un disallineamento $2n \times 2n$matrice. Cioè, abbiamo$m_{ij} = -m_{ji}$ per $1 \leq i, j \leq 2n$. Allora è risaputo che

$$\det M = p(M)^2,$$

dove $p$ è un polinomio nelle voci $m_{ij}$. Il polinomio$p(M)$è chiamato il Pfaffian di$M$.

C'è una generalizzazione di questo? Cioè, c'è una famiglia naturale di$kn \times kn$ matrici le cui determinanti sono perfette $k$-esime potenze dei polinomi nelle voci?

Answer 1

Una buona classe di esempi di ciò è data dalle algebre di Clifford: If $V$ è un vero e proprio spazio vettoriale dotato di forma quadratica $q:V\to\mathbb{R}$, l'algebra $Cl(q)$ è l'algebra generata dagli elementi di $V$ soggetto alla regola della moltiplicazione $x^2 = -q(x)$. Se$M$ è un $Cl(q)$-modulo, diciamo $M\simeq\mathbb{R}^m$, quindi abbiamo un'inclusione $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ e il caratteristico polinomio di $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ si vede facilmente $(t^2+q(x))^{m/2}$, quindi abbiamo $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ per tutti $x\in V$.

Ad esempio, se $V$ è $\mathbb{R}^8$ con la sua forma quadratica euclidea standard $q$, poi $Cl(q)$ è isomorfo a $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$, quindi possiamo prendere $M=\mathbb{R}^{16}$ (e ogni $Cl(q)$-module è $\mathbb{R}^{16k}$ per un numero intero $k$). Quindi, in questo caso, abbiamo$\det(x) = p(x)^8$ dove $p(x) = |x|^2$ per tutti $x\in V$.

In generale, quando $V\simeq\mathbb{R}^n$ e $q_n:V\to\mathbb{R}$ è non degenerato, la dimensione di un minimo non banale $Cl(q_n)$-module cresce (approssimativamente) in modo esponenziale con $n$, quindi il minimo $m$ cresce esponenzialmente con $n$. Ciò dimostra che esistono esempi "irriducibili" non banali con$\det(x) = p(x)^k$ per $k$ arbitrariamente grande e che non vi è alcun limite alla possibile dimensione $n$ del sottospazio $V\subset\mathrm{End}(M)$.

Nota : dato un sottospazio lineare$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ tale che esista un polinomio $p:V\to\mathbb{R}$ e un numero intero $k = m/\deg(p)>1$ tale che $\det(x) = p(x)^k$, diciamo che la coppia $(V,\mathbb{R}^m)$è irriducibile se non esiste un sottospazio non banale$M\subset\mathbb{R}^m$ tale che $x(M)\subset M$ per tutti $x\in V$ e $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ per tutti $x\in V$, dove, necessariamente, $j = (\dim M)/\deg(p)$.

L'interessante problema per i sottospazi lineari $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ su cui il $\det$-funzione è una potenza maggiore di un polinomio su $V$ è classificare quelli irriducibili di dimensione massima per un dato $m$.