Generalizzare il processo di sommatoria per insiemi infiniti
Oggi mi sono ritrovato a interrogarmi sulla somma di tutti i numeri interi$\mathbb Z$.
Lo sappiamo$\mathbb Z$è un insieme numerabile, ciò significa che possiamo elencare tutti gli elementi di$\mathbb Z$, quindi possiamo risolvere il problema usando le somme:
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
Quindi abbiamo che la somma di tutti i numeri interi è 0. Per lo stesso argomento abbiamo che le somme di tutti i numeri razionali$\mathbb Q$è anche 0.
La mia prima domanda è: questo argomento è valido e corretto?
Poi mi chiedo: allora qual è la somma di tutti i numeri reali$\mathbb R$?
Contrariamente a$\Bbb Z$e$\Bbb Q$, il set$\Bbb R$non è numerabile. Ciò significa che è impossibile elencare i numeri di$\Bbb R$e quindi impossibile sommare tutti i numeri usando una somma. La prima cosa che mi è venuta in mente sono stati gli integrali. A volte tendo a pensare agli integrali come alla versione continua della sommatoria. Quindi possiamo esprimere la somma di tutti i numeri reali come:
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
Questo ci permette di sommare tutti gli elementi di insiemi non numerabili. Ad esempio il di tutti gli elementi di$(0,1)$, utilizzando questo metodo sarebbe:
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
La mia seconda domanda è: questa generalizzazione è corretta?
La mia terza domanda sorge quando, assumendo che questo metodo sia corretto, ho provato a calcolare la somma di tutti i numeri irrazionali. Se il metodo è corretto, allora la somma di tutti i numeri irrazionali sarebbe:
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
Ma non so come valutare l'integrale perché (non conosco il termine matematico appropriato per quello che sto per dire, quindi mi dispiace se suona poco rigoroso) Ha dei "buchi". Tra ogni 2 numeri irrazionali c'è sempre un numero razionale!
Se proviamo ad integrare una funzione over$(0,1) \cup (2,3)$c'è anche un buco in questo, ma possiamo dividere l'integrale in due: uno sopra$(0,1)$e l'altro sopra$(2,3)$. Se proviamo a fare uso di questo nel nostro integrale over$\mathbb I$otterremmo:
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
Ma abbiamo due problemi con questo:
In primo luogo, quell'integrale è un integrale su un punto, e questo vale zero. Quindi non è l'ideale perché significherebbe che la somma di qualsiasi insieme non numerabile sarà sempre zero.
Non possiamo usare una sommatoria regolare lì perché, di nuovo, l'insieme$\Bbb I$non è numerabile.
Quindi stavamo cercando di evitare la sommatoria regolare generalizzandola con integrali, ma poi salta fuori di nuovo!
Quindi la mia terza e ultima domanda è: anche se la mia generalizzazione non è corretta, è ancora possibile valutare questo integrale?
Risposte
Tali speculazioni fasulle danno varie risposte come$\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = -$\infty$