Giuste proprietà liftanti contro i complessi cellulari relativi

Aug 17 2020

Quindi ho studiato queste note sulla teoria dell'omotopia. C'è una proposizione (2.10) che lo afferma per qualsiasi raccolta di morfismi$K \subset \mathrm{Mor}(C)$ la collezione KProj di $K$-morfismi proiettivi e KInj di $K$-morfismi iniettivi soddisfano quanto segue

$\bullet$ Entrambe le classi sono chiuse in composizione e KProj è chiuso in composizione transfinita.

$\bullet$ Entrambe le classi sono chiuse in formazione ritiri nella categoria freccia di $C$.

$\bullet$ KProj è chiuso sotto forma di espulsioni di morfismi in $C$ e KInj è chiuso sotto la formazione di pullback di morfismi in $C$.

$\bullet$ KProj è chiuso sotto la formazione di coprodotti nella categoria freccia di $C$ e KInj è chiuso sotto la formazione di prodotti nella categoria freccia di $C$.

Come corollario di tale proposizione abbiamo:

Permettere $C$ essere una categoria con tutti i colimiti piccoli, e sia K⊂Mor ($C$) essere una sottoclasse dei suoi morfismi. Quindi ogni morfismo K-iniettivo ha la giusta proprietà di sollevamento contro tutti i complessi cellulari K-relativi e le loro retrazioni.

Il problema è che non riesco a vedere perché segue questo corollario, ho provato a utilizzare le proprietà universali del pushout nella composizione transfinita di un complesso cellulare ma non sembra funzionare, forse non sto vedendo qualcosa ? Qualsiasi aiuto è apprezzato.

Risposte

4 ZhenLin Aug 18 2020 at 03:06

Ogni morfismo in $K\textrm{-Inj}$ ha la giusta proprietà di sollevamento rispetto a $K$. Ritenere$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. Ogni morfismo in$K\textrm{-Inj}$ ha la giusta proprietà di sollevamento rispetto a $(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$, e $K \subseteq (K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. La proposta dice$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$è chiuso sotto pushouts, si ritrae e la composizione transfinita. Segue l'affermazione.