Gruppi di Lie complessi non isomorfi con la stessa algebra di Lie eccezionale per $\mathfrak{g_2,f_4,e_6,e_7,e_8}$?

Aug 23 2020

Un'eccezionale algebra di Lie complessa è una semplice algebra di Lie il cui diagramma di Dynkin è di tipo eccezionale (non classico). Esistono esattamente cinque di queste algebre di Lie:$\mathfrak{g}_{2}$, ${\mathfrak {f}}_{4}$,${\mathfrak {e}}_{6}$, ${\mathfrak {e}}_{7}$, ${\mathfrak {e}}_{8}$; le loro rispettive dimensioni sono 14, 52, 78, 133, 248.

Vedere https://en.wikipedia.org/wiki/Exceptional_Lie_algebra

Di solito, data un'algebra di Lie complessa,

potrebbero esserci gruppi di Lie complessi connessi non isomorfi con la stessa algebra di Lie data.

Ad esempio, il file ${\rm SO}(N)$ e ${\rm Spin}(N)$ può avere la stessa algebra di Lie ${\mathfrak {so}}_{n}$, ma sono gruppi di Lie non isomorfi perché ${\rm SO}(N)={\rm Spin}(N)/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ ha un centro più piccolo di ${\rm Spin}(N)$. In particolare,${\rm SO}(5)$ e ${\rm Sp}(2)\simeq {\rm Spin}(5)$ sono gruppi di Lie non isomorfi con algebre di Lie isomorfe ${\mathfrak {so}}_{5}\simeq{\mathfrak{sp}}_2$.

Domande:

Si dice comunemente che i gruppi di Lie abbiano una data algebra di Lie $\mathfrak{g}_{2}$, ${\mathfrak {f}}_{4}$,${\mathfrak {e}}_{6}$, ${\mathfrak {e}}_{7}$, ${\mathfrak {e}}_{8}$ siamo $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$. Tuttavia, abbiamo gruppi di Lie non isomorfi con la stessa algebra di Lie eccezionale$\mathfrak{g}_{2}$, ${\mathfrak {f}}_{4}$,${\mathfrak {e}}_{6}$, ${\mathfrak {e}}_{7}$, ${\mathfrak {e}}_{8}$?
Quali sono i centri $Z(G)$ di questi gruppi di Lie $G$? Per$G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ e forse altri con la stessa algebra di Lie data?
Quali sono i gruppi di omotopia $$\pi_d(G)$$ di questi gruppi di Lie $G$per dimensioni inferiori? dire$d=0,1,3,4,5,...$?

Lo sappiamo già $\pi_2(G)=0$ per qualsiasi gruppo di Lie.

Apprezzo la tua pazienza, commenti e risposte

Risposte

13 MikhailBorovoi Aug 23 2020 at 22:56

Preferisco usare il linguaggio dei gruppi algebrici. Tutti i gruppi algebrici e le algebre di Lie sono definiti sopra$\Bbb C$.

1. Let${\mathfrak g}$essere un'algebra di Lie semisemplice. Considera il gruppo degli automorfismi${\rm Aut\,}{\mathfrak g}$, la sua componente identitaria $G^{\rm ad}:=({\rm Aut\,}{\mathfrak g})^0$e il gruppo degli automorfismi esterni ${\rm Out\,} {\mathfrak g}:=({\rm Aut\,} {\mathfrak g})/({\rm Aut\,} {\mathfrak g})^0$. Lo diciamo noi$G^{\rm ad}$è il gruppo aggiunto (o il gruppo di tipo aggiunto) con algebra di Lie${\mathfrak g}$. Notare che$Z(G^{\rm ad})=\{1\}$.

2. Partendo da un'algebra di Lie semisemplice${\mathfrak g}$, si può costruire il gruppo semplicemente connesso $G^{\rm sc}$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak g}$; vedere Steinberg, Lectures on Chevalley groups, AMS, 2016. Notare che$\pi_1(G^{\rm sc})=\{1\}$. Questo gruppo algebrico$G^{\rm sc}$ ha la seguente proprietà universale: per qualsiasi gruppo algebrico $H$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak h}$ e per qualsiasi omomorfismo delle algebre di Lie $\varphi_{\rm Lie}\colon {\mathfrak g}\to{\mathfrak h}$, esiste un omomorfismo unico del gruppo algebrico $\varphi\colon G^{\rm sc}\to H$ indurre $\varphi_{\rm Lie}$.

3. Per qualsiasi gruppo algebrico connesso$G$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak g}$, esiste un omomorfismo canonico suriettivo $$\rho\colon G^{\rm sc}\to G $$ inducendo l'isomorfismo dell'identità ${\mathfrak g}$; vedi sopra. abbiamo$$\pi_1(G^{\rm sc})=\{1\},\quad \pi_1(G)={\rm ker}\,\rho.$$ D'altra parte, abbiamo un omomorfismo canonico suriettivo $${\rm Ad}\colon G\to G^{\rm ad}\subseteq {\rm Aut\,} {\mathfrak g}$$ con kernel $Z(G)$. Scrivi$$C=Z(G^{\rm sc})=\pi_1(G^{\rm ad}).$$ L'omomorfismo $$ {\rm Ad}\colon G\to G^{\rm ad}$$ induce un omomorfismo $$i\colon \pi_1(G)\to\pi_1(G^{\rm ad})=C.$$ Inoltre, l'omomorfismo $$\rho\colon G^{\rm sc}\to G$$ induce un omomorfismo $$j\colon C=Z(G^{\rm sc})\to Z(G).$$ In questo modo otteniamo una breve sequenza esatta $$1\to\pi_1(G)\overset{i}{\longrightarrow} C\overset{j}{\longrightarrow} Z(G)\to 1.$$

Al contrario, per ogni sottogruppo $F\subseteq C$ si può associare un gruppo semisemplice connesso $ G_F:=G^{\rm sc}/F$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak g}$, con gruppo fondamentale $\pi_1(G_F)=F$e con il centro $Z(G_F)=C/F$. In questo modo si ottiene una biiezione canonica tra l'insieme dei sottogruppi di$C$ fino alla coniugazione di ${\rm Out\,} {\mathfrak g}$ e l'insieme delle classi di isomorfismo di gruppi algebrici semisemplici connessi con l'algebra di Lie ${\mathfrak g}$. È risaputo che${\rm Out\,} {\mathfrak g}$ è canonicamente isomorfo a ${\rm Aut\,} {\rm Dyn}({\mathfrak g})$, dove ${\rm Dyn}({\mathfrak g})$ è il diagramma Dynkin canonico di ${\mathfrak g}$.

4. Torniamo alle nostre eccezionali semplici algebre di Lie. Il gruppo$C=C({\mathfrak g})$ si può trovare, ad esempio, nelle tabelle del libro di Bourbaki "Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 4-6", o nel libro di Onishchik e Vinberg "Lie Groups and Algebraic Groups", Springer-Verlag, 1990.

Per ${\mathfrak g}_2$, ${\mathfrak f}_4$, e ${\mathfrak e}_8$ noi abbiamo $C({\mathfrak g})=\{1\}$. Quindi esiste un solo gruppo algebrico (fino all'isomorfismo)$G^{\rm sc}({\mathfrak g})=G^{\rm ad}({\mathfrak g})$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak g}$.

Per ${\mathfrak g}={\mathfrak e}_6$ noi abbiamo $C({\mathfrak g})\simeq {\Bbb Z}/3{\Bbb Z}$. Questo gruppo non ha sottogruppi non banali. Quindi ci sono esattamente due gruppi algebrici collegati (fino all'isomorfismo)$E_6^{\rm sc}$ e $E_6^{\rm ad}$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak e}_6$. abbiamo$$Z(E_6^{\rm sc})=\pi_1(E_6^{\rm ad})\simeq{\Bbb Z}/3{\Bbb Z}.$$

Per ${\mathfrak g}={\mathfrak e}_7$ noi abbiamo $C({\mathfrak g})\simeq {\Bbb Z}/2{\Bbb Z}$. Questo gruppo non ha sottogruppi non banali. Quindi ci sono esattamente due gruppi algebrici collegati (fino all'isomorfismo)$E_7^{\rm sc}$ e $E_7^{\rm ad}$ con l'algebra di Lie ${\mathfrak e}_7$. abbiamo$$Z(E_7^{\rm sc})=\pi_1(E_7^{\rm ad})\simeq{\Bbb Z}/2{\Bbb Z}.$$

5. Le forme reali di un gruppo algebrico connesso di tipo eccezionale corrispondono biettivamente alle forme reali (o strutture reali sulla) sua algebra di Lie. Il mio modo preferito per classificarli è tramite i diagrammi Kac. Vedere la tabella 7 nel libro di Onishchik e Vinberg. Il numero di moduli reali è 2 per${\mathfrak g}_2$, 3 per ${\mathfrak f}_4$, 3 per ${\mathfrak e}_8$, 4 per ${\mathfrak e}_7$, 5 per ${\mathfrak e}_6$. Queste forme reali sono elencate anche nella Tabella V nel capitolo X del libro di Helgason "Geometria differenziale, gruppi di bugia e spazi simmetrici" (Helgason elenca tutte le forme non compatte ). Helgason classifica le forme reali utilizzando il metodo originale di Kac con algebre di Lie dimensionali infinite. Onishchik e Vinbeg usano un altro metodo, che dà esattamente la stessa risposta (gli stessi diagrammi di Kac).

3 LSpice Aug 23 2020 at 20:14

Ho appena scaricato i commenti in una risposta e spero che qualcuno fornisca una risposta migliore di questa. (EDIT: Qualcuno l'ha fatto! Vedi la risposta di @ MikhailBorovoi .) Sarò felice di eliminare questo, oppure puoi semplicemente modificare questo, che è CW per evitare la reputazione (dato che sto solo compilando commenti).

Una cosa che non è stata ancora menzionata nei commenti è la domanda 3 . Chiedere di$\pi_0$di un gruppo basato sulla sua algebra di Lie è in un certo senso privo di significato; l'algebra di Lie di un gruppo vede solo la sua componente identitaria, quindi si può fare$\pi_0$tanto male quanto si consente a un gruppo di Lie discreto di essere (numerabile?) senza cambiare l'algebra di Lie. Per$\mathsf E_8$, $\mathsf F_4$, e $\mathsf G_2$, $\pi_1$è banale. Per$\mathsf E_6$ e $\mathsf E_7$, la forma aggiunta (derivante come gruppo automorfismo dell'algebra di Lie) ha un gruppo fondamentale che è ciclico di ordine primo (3 e 2, rispettivamente). Tuttavia, tutte queste affermazioni riguardano i gruppi complessi , quindi per le forme compatte, e so che altre forme reali possono avere gruppi fondamentali diversi, ma non so come differiscano. Si spera che qualcuno lo riempirà.

Come dici tu, $\pi_2$è banale , e @ AndréHenriques fornisce un riferimento nei commenti che indicano il documento di Borel Un'applicazione della teoria Morse alla topologia dei gruppi di Lie, dimostrando che$\pi_3$è ciclico infinito per gruppi semplici, ma non sono sicuro che sia per gruppi algebricamente semplici o per gruppi astrattamente semplici (cioè, è consentito un centro finito?). Ancora una volta, si spera che qualcuno modifichi questa risposta o aggiunga la propria.

@ SamHopkins ha detto :

... certamente ci sono più gruppi di Lie differenti che hanno la stessa algebra di Lie eccezionale della loro algebra di Lie: vedi ad es http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_simple_Lie_groups#List per un punto di partenza.

@TimCampion ha detto :

Naturalmente, come sembrano suggerire le domande (2) e (3), la regola generale per trovare i gruppi di Lie $G'$ con la stessa algebra di Lie di $G$ è (1) trova la copertura universale $\tilde G$, (2) trova il centro $Z(\tilde G)$, (3) enumera tutti i sottogruppi discreti $\Gamma \subseteq Z(\tilde G)$, (4) prendere $G' = \tilde G/\Gamma$ per ciascuno $\Gamma$e (5) cercare descrizioni più dirette. Quanto è semplice dare la caccia a tutti questi passaggi per tutti questi gruppi nella letteratura (non sono un esperto)? Se non altro, registrare qui le fonti per ogni passaggio renderebbe queste informazioni più facili da trovare su Internet.

@Mare ha detto :

@TimCampion Almeno a me sembra abbastanza difficile trovare molte informazioni sugli eccezionali gruppi di Lie nei libri di testo standard. C'è il libro di testo "Lectures on Exceptional Lie Groups" di Adams che potrebbe contenere la maggior parte delle informazioni ma sembra essere fuori stampa nel mio paese al momento. Sarebbe interessante vedere se esiste un libro di testo moderno sui gruppi di Lie che contiene anche descrizioni dettagliate e proprietà per i gruppi di Lie eccezionali e le loro algebre di Lie. Ho quasi 10 libri sui gruppi di Lie, ma nessuno ha informazioni dettagliate complete su tutti i casi eccezionali ".

Poi ho blaterato per un po '( 1 2 3 4 ), ma nota che prima ho dimenticato di pensare alle forme reali, e anche quando mi sono ricordato di aver sbagliato per un'analogia eccessiva con il$p$-caso adico - vedi importanti correzioni ( 1 2 ) delle mie affermazioni errate sulla non esistenza di forme reali non scisse: