Gruppi semplici finiti con tre classi di coniugazione di sottogruppi locali massimi
$\DeclareMathOperator\PSL{PSL}$In [1] è stato dimostrato che
Un gruppo finito non risolvibile $G$ ha tre classi di coniugazione di sottogruppi massimi se e solo se $G/\Phi(G)$ è isomorfo a $\PSL(2,7)$ o $\PSL(2,2^q)$ per alcuni primi $q$. Ciò implica che, tra i gruppi semplici finiti, solo$\PSL(2,7)$ e $\PSL(2,2^q)$ hanno tre classi di coniugazione di sottogruppi massimi.
La mia domanda: mi chiedo se possiamo anche trovare tutti i gruppi semplici finiti con tre classi di coniugazione di sottogruppi locali massimi .
Un sottogruppo è un sottogruppo locale se è il normalizzatore di qualche sottogruppo non banale dell'ordine di potenza principale. Un sottogruppo locale appropriato è un sottogruppo locale massimo se è massimo tra i sottogruppi locali appropriati.
I sottogruppi massimi non sono necessariamente locali e i sottogruppi locali massimi non sono necessariamente sottogruppi massimi. So che i tre sottogruppi massimi non coniugati di$\PSL(2,4)=A_5$ e $\PSL(2,7)$ sono rispettivamente locali, ma è vero $\PSL(2,2^q)$ ha tre classi di coniugazione di sottogruppi locali massimi per ogni numero primo $q$? E come posso trovare tutti i gruppi semplici con tale proprietà?
Qualsiasi aiuto è apprezzato!
Riferimento:
[1] Belonogov, VA: gruppi finiti con tre classi di sottogruppi massimi . Matematica. Sb., 131, 225-239 (1986)
Risposte
Se vuoi usare CFSG, penso che sia fattibile (e potrebbe anche essere fattibile senza CFSG se usi la classificazione di H.Bender dei gruppi finiti con un sottogruppo fortemente incorporato, con del lavoro aggiuntivo).
Per gruppi sporadici, è una questione di controllo. In un gruppo alternato$G$, ci sono tre sottogruppi locali massimi non coniugati, $N_{G}(\langle (123) \rangle)$, $N_{G}( \langle (12)(34), (13)(24) \rangle )$ e $N_{G}(\langle (12345) \rangle)$, e per $n \geq 7$, è facile costruire sottogruppi locali massimi non coniugati a nessuno di questi.
Per gruppi semplici di tipo Lie di caratteristica che definisce $p$, quindi per il rango almeno tre, ci sono almeno tre classi di coniugazione di massimo $p$-locali (che qui sono paraboliche) che sono anche sottogruppi locali massimi non coniugati. Inoltre, (con poche eccezioni), il normalizzatore del toro massimo,$T$, del Borel è contenuto in un sottogruppo locale massimale che non è coniugato ad alcuna parabolica.
Quindi il vero lavoro sta nel trattare con semplici gruppi di caratteristiche che definiscono il tipo di Lie $p$ e di rango al massimo $2$e questo dovrebbe essere gestibile.