Hai bisogno di aiuto per capire i complessi cellulari
Ho bisogno di aiuto per capire i complessi cellulari e le proprietà dietro di loro. Sto avviando Hatcher e non riesco a cogliere le idee più semplici qui.
Da come l'ho capito: i complessi cellulari si presentano come un nuovo modo di costruire spazi incollando dischi n dimensionali a tutti i tipi di superfici in un punto lungo il confine del disco. Questa comprensione del livello superficiale non mi aiuta a rispondere a domande come il modo in cui un complesso cellulare connesso equivale ad essere collegato al percorso, il che equivale a dire che gli 1-scheletri (archi se non sbaglio) della cella sono collegati? Capisco come funzionano queste definizioni in modo indipendente, ma non riesco a collegare questa idea ai complessi cellulari. Ho solo questo blocco mentale su cosa fare, non sono sicuro di come lavorarci in astratto. Qualsiasi risposta aiuterà, dai consigli su come pensarci o persino dalle spiegazioni su come funzionano i complessi cellulari.
Mi scuso per il testo di grandi dimensioni, l'ho scritto dal mio telefono.
Risposte
Forse un esempio chiarirà le cose. Considera questo$2$-complesso CW dimensionale incorporato in $\mathbb{R}^2$:
Quindi è un segmento di linea insieme a un'ellisse piena. Beh, in realtà non è ancora un complesso CW, è solo uno spazio topologico. Dobbiamo definire una struttura cellulare su di essa. Ci sono molti modi per farlo (infinitamente molti in effetti), una possibilità è questa:
- Due $0$ celle, più precisamente i punti finali del segmento di linea
- Due $1$ celle, il segmento di linea a sinistra e il confine dell'ellisse
- uno $2$ cell, l'interno dell'ellisse.
Con quello il $0$-scheletro (cioè l'unione di tutte le cellule di dimensione fino a $0$) è semplicemente questo:
mentre il $1$-scheletro (cioè l'unione di tutte le cellule di dimensione fino a $1$) è questo:
e il $2$-scheletro (cioè l'unione di tutte le cellule di dimensione fino a $2$) è uguale allo spazio stesso.
Nota come incolliamo il file $2$-cell al $1$-scheletro. È confine a confine, non "in un punto" come hai suggerito nella domanda. Abbiamo molta libertà su come incollare$n$-cellule al $n-1$-scheletro.
che equivale a dire che gli 1 scheletri (archi se non sbaglio) della cella sono collegati?
Non archi. $1$-scheletro (nota: singolare, senza "s" alla fine). Ogni complesso CW è dotato di una struttura di celle. Data questa struttura, il$n$-lo scheletro è l'unione di tutte le cellule di dimensione fino a $n$. Per una data struttura CW e data$n\in\mathbb{N}$ ce n'è esattamente uno $n$-scheletro. Sebbene non siano necessariamente distinti per diversi$n$, poiché un complesso di dimensione CW $m$ non deve avere celle di tutte le dimensioni inferiori a $m$. Ad esempio la sfera di dimensione$m$ può essere data una struttura CW composta da un unico file $0$-cell e un singolo $m$-cell, che significa il $n$-scheletro è uguale a $0$-scheletro per qualsiasi $0\leq n< m$. In particolare si noti che il$n$-lo scheletro non deve essere di dimensione $n$ (sebbene $n$ è il limite superiore della sua dimensione) che è in qualche modo controintuitivo.
Comunque il teorema dice che la connessione di percorso di un complesso CW è equivalente alla connessione di percorso del suo $1$-scheletro. Il punto è che le celle stesse sono sempre connesse al percorso. Ma per passare da una cella all'altra possiamo sempre farlo$1$-scheletro, purché sia collegato al percorso. Si spera che l'esempio sopra dia un'intuizione abbastanza buona.
Il fatto che un complesso CW sia connesso se e solo se è connesso tramite path è più difficile da visualizzare. Forse perché gli spazi connessi ma non collegati al percorso sono strani. Qui l'intuizione è che i complessi CW non sono patologici, a differenza di altri spazi, ad esempio la curva sinusoidale del topologo . Suppongo che tu possa semplicemente accettare il fatto e andare avanti.