Identità di polarizzazione se operatore

Aug 19 2020

Permettere $\mathcal{H}$ essere uno spazio di Hilbert finito $\mathbb{C}$. Conosco (e ho dimostrato) la seguente identità di polarizzazione: \ begin {eqnarray} \ langle x, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y \ rangle \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} per$x,y \in \mathcal{H}$. Ora, vorrei provare il seguente risultato come conseguenza di (\ ref {1}): \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0 } ^ {3} i ^ {k} \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray} dove$A$ è un dato operatore lineare limitato su $\mathcal{H}$. Se cambi$x$ per $Ax$in (\ ref {1}) ottieni: \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle Ax + iy, Ax + iy \ rangle \ tag {3} \ label {3} \ end {eqnarray} ma non (\ ref {2}) e ​​sono bloccato a questo punto. Come implica (\ ref {1}) (\ ref {2})?

Risposte

2 MathMath Aug 19 2020 at 01:28

Grazie ai commenti, credo di aver capito. In primo luogo, dobbiamo mostrare che l'identità di polarizzazione vale anche in un contesto più generale, vale a dire se$T:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$ soddisfa le seguenti proprietà:

(un) $T(x,\alpha y + \beta z) = \bar{\alpha}T(x,y)+\bar{\beta}T(x,z)$

(b) $T(\alpha x + \beta z, y) = \alpha T(x,y) + \beta T(z,y)$

quindi, ne consegue che:

\ begin {eqnarray} T (x, y) = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} T (x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y) \ tag {1 '} \ label {1.1} \ end {eqnarray}

Prova di (\ ref {1.1}): Scrivi:$$T(x,y) = T\bigg{(}\frac{1}{2}(x+iy+x-iy), \frac{1}{2i}(x+iy - (x-iy))\bigg{)}$$ Usando le proprietà (a) e (b), otteniamo: $$T(x,y) = -\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$

Ora, nota che: $$-\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)] = \frac{1}{4}i[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$ e, usando ancora (a) e (b), abbiamo anche: $$\frac{1}{4}i [-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)] = \frac{1}{4}i[2T(x,iy)-2T(iy,x)] = \frac{1}{4}i[-2iT(x,y)-2iT(y,x)] = \frac{1}{2}[T(x,y)+T(y,x)] = \frac{1}{4}[T(x+y,x+y)-T(x-y,x-y)]$$ e (\ ref {1.1}) segue.

Ora, il risultato segue l'impostazione $T(x,y) := \langle Ax,y\rangle$ per tutti $x,y \in \mathcal{H}$.