Il gradiente di una funzione convessa è continuo all'interno del suo dominio

Aug 17 2020

Data una funzione convessa, semicontinua inferiore e propria $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ che è differenziabile nel suo dominio, è vero che il suo gradiente $\nabla f$ è continuo all'interno del dominio di $f$? Eccomi qui$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Quello che ho pensato è stato quello per una tale funzione$f$, deve essere vero $f$è localmente Lipschitz continuo sul suo dominio e quindi per il teorema di Rademacher è localmente differenziabili ae. Tuttavia, questo non ottiene ciò che voglio. Qualcuno ha una prova o un contro esempio?

Modifica: questo è il corollario 9.20 in Rockafellar e Wets, a quanto pare.

Risposte

1 StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 04:07

Senza perdita di generalità, è sufficiente provare $\nabla f$ è continuo a $x = 0$ quando $\nabla f(0) = 0$. Supponiamo$x_n \to 0$ è tale che $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Dato$\epsilon>0$ tale che $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, scegli $n$ così che $x_n \in B(0,\epsilon)$ e $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Sappiamo che esiste$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, tale che $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (cioè, scegli $y$ nella direzione di $\nabla f(x_n)$ vicino a $x_n$). Per$t \in \mathbb R$, permettere $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Per convessità, vedi quello per$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ questo è $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Scegliere $t = \epsilon / |x_n - y|$. Nota che$|z_t| < 2 \epsilon$. Poi $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Questo lo contraddice $\nabla f(0) = 0$.

TrivialPursuit Nov 13 2020 at 06:13

Sto aggiornando questo post con la domanda successiva: If $f$ è una funzione convessa definita su un insieme convesso $E\subseteq \mathbb R^n$ e se è differenziabile su $E$, è vero che il suo gradiente deve essere continuo $E$ (e non solo negli interni)?