Il momento angolare può essere definito direttamente in termini di velocità angolare?

Question

Non mi piace essere definito come $\vec{r} \times \vec{mv}$ poiché la natura angolare non è ovvia in quella definizione.

Supponiamo che ci sia una singola particella in movimento. Scegliamo un'origine arbitraria. Definiamo il momento angolare al momento$t$ come $m|\vec{r(t)}|^2$volte la sua velocità angolare. Velocità angolare nel tempo$t$ è definito come il vettore perpendicolare ad entrambi $\vec{v(t)}$ e $\vec{r(t)}$ (secondo qualche regola convenzionale) e avente la grandezza $\frac{d\theta}{dt}$, dove $\theta (t)$ è la posizione angolare della particella nel tempo $t$ nel piano di $\vec{r(t)}$ e $\vec{v(t)}$, rispetto all'origine scelta.

Quindi questo lo definisce per una singola particella. Per un sistema di particelle, riassumiamo solo i momenti angolari. La formula$\vec{r}\times \vec{mv}$è arrivato come mezzo per calcolarlo. Questa definizione è equivalente a$\vec{r}\times \vec{mv}$? Una di queste definizioni può essere utilizzata per qualsiasi problema generale?

Answer 1

Usando la velocità tangenziale puoi scrivere $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $, sostituendo questo nella tua espressione otterrai la ben nota espressione per il momento angolare di una singola particella: $\vec{L} = mr^2 \vec{\omega}$. La quantità$mr^2$è chiamato il momento d'inerzia di una particella rispetto ad un certo asse di rotazione. Si può generalizzare un insieme di particelle, se hanno posizioni fisse l'una rispetto all'altra diciamo che queste particelle costituiscono un corpo rigido . La formula generale diventa quindi$\vec{L} = \bf{I} \vec{\omega}$ dove $\bf{I}$è chiamato tensore d'inerzia . Notare che questo ha la stessa struttura del movimento lineare dove$\vec{p} = m \vec{v}$ dove in questo caso la massa $m$ assume il ruolo di inerzia.

Answer 2

Sì, mi sono convinto che la tua formula sia corretta. Ho appena calcolato il prodotto incrociato e ho inserito omega invece di v. Quindi la tua formula dà la risposta giusta per il valore assoluto di p, ma non riesco ancora a capire perché non vedi il cambiamento di angolo nel prodotto incrociato.