Il numero intero più grande minore o uguale a $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
Questa è una domanda di ammissione al dottorato di ricerca del TIFR 2020. La domanda richiede una risposta esplicita. So che le somme parziali vengono valutate utilizzando la formula di Abele in Teoria dei numeri, ma credo che potrebbero esserci metodi migliori per serie di questa forma. Qualcuno può condividere i propri pensieri?
Risposte
Confronta la somma con gli integrali definiti appropriati:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
Anche:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
Quindi, la somma è tra $1332$ e $1333$ e così è la sua parte integrante $1332$.
Suggerimento: considera la funzione$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ e usa il teorema del valore medio per dedurlo $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Ora puoi sommare e utilizzare il fatto che quasi tutto sarà telescopico.
Ecco un altro modo per considerare la puzzolente risposta dei Vescovi. Questa è una risposta derivata e identica a quella di Stinking Bishop. Sto solo strizzando gli occhi e guardandolo da un'angolazione diversa.
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
Adesso $\int_a^b C dx = C[b-a]$ così $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ e $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ così
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Come notato $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
Ma anche nota
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ può essere reindicizzato come $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ che è uguale a $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.
Quindi abbiamo
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Ed è facilmente verificabile che se $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ poi $M< n+1 \le M+1$ e così $n\le M< n+1$ così $\lfloor M\rfloor=n$.
Così $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.