Immagine del set compatto in funzione continua a tratti

Question

Permettere $a,b>0\in\mathbb{R}$. Permettere$U$ essere un dominio in $\mathbb{C}^n$. Permettere$f:[a,b]\longrightarrow U$essere una mappa continua a tratti. Allora è$f[a,b]$compatto? Se non compatto, sarà delimitato?

Ok. Questo è nel seguente contesto. Mi viene dato un percorso regolare a tratti$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dove$\gamma(a)=z$ e $\gamma(b)=w$, per dato $z,w\in U$. Ci viene anche assegnata una funzione$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$, che è semicontinuo superiore. Ora si dice così$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$è limitato e misurabile. Volevo sapere perché la funzione è limitata. lo so$\gamma[a,b]$è compatto. E$\gamma$essendo semicontinuo superiore raggiungerà il suo massimo su un set compatto. Ma non ne sono sicuro$\gamma’$.

Answer 1

Compatto, non necessariamente: On $[0,1]$ permettere $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ Poi $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$

Delimitato, sì: Primo, un lemma: If $f$ è continuo $(a,b)$ e $f$ ha limiti finiti ai punti finali, quindi $f(a,b)$ è limitato.

Prova: supponi $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ Permettere $\epsilon=1.$ Allora esiste $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ tale che $|f(x)-L|<1$ per $x\in (a,a+\delta_a).$ Così per tale $x,$

$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$

Allo stesso modo, esiste $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ tale che $|f(x)|<1+|M|$ per $x\in (b-\delta_b,b).$ Ne consegue che $f$ è limitato sul set $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$

Da $f$ è continuo sul set compatto $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$è compatto, quindi è limitato. Ne consegue che$f(a,b)$ è limitato.

Supponiamo ora $f$ è continuo a tratti $[a,b].$ Allora esistono punti $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ tale che $f$ è continuo su ciascuno $I_k=(x_{k-1},x_k)$ e ha limiti finiti ai punti finali di $I_k.$ Per il lemma, ciascuno $f(I_k)$è limitato. Il set$f(\{x_0,\dots x_n\})$è anche limitato. Perciò

$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$

è limitato.