In che modo questa definizione definisce un simbolo $P$ al di fuori del set di simboli $S$ come un $S$-frase?

Question

A p126 in §3. Estensioni per definizioni in VIII Interpretazioni sintattiche e forme normali nella logica matematica di Ebbinghaus :$S$ è un set di simboli (non logici)

3.1 Definizione. Permettere$\Phi$ essere un insieme di $S$-frasi.

(a) Supponiamo $P \notin S$ è un $n$-arare simbolo di relazione e $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ un $S$-formula. Allora lo diciamo$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ è un $S$-definizione di $P$ nel $\Phi$.

• Com'è $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ un $S$-sentence o anche a $S$-formula?

• $P v_0 ... n_{n-1}$ si trova sul lato sinistro di $\leftrightarrow$. Questo presume$P v_0 ... n_{n-1}$ essere un $S$-formula? Ma$P \notin S$, quindi come può $P v_0 ... n_{n-1}$ essere un $S$-formula?

Grazie.

Answer 1

Per salvare un po 'di scrittura, lasciamo $\sigma$ stare per $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.

Hai ragione $\sigma$ non è un $S$-formula, perché $\sigma$ coinvolge il simbolo $P$, che non è in $S$. D'altra parte,$\sigma$ è un $(S \cup \{P\})$-frase. Questo è il punto qui:$\sigma$ ti sta dicendo che il simbolo $P$, che non è in $S$, è equivalente a un file $S$-formula. La terminologia "$S$-definizione "si riferisce al fatto che $\sigma$ definisce $P$ in termini di $S$, non significa questo $\sigma$ è di per sé un file $S$-frase.