"Infinitamente tanti come ..."?
La frase seguente è tratta dal mio libro di testo di matematica discreta:
Ogni numero razionale ha infinite rappresentazioni quanto un rapporto.
È corretto? Ci sono vari gradi di infinitamente molti o sto fraintendendo?
Risposte
È formulato in modo errato. Quello che sarebbe corretto è:
Ogni numero razionale ha infinite rappresentazioni distinte come rapporto di numeri interi.
Almeno in inglese americano, non credo sia espresso il più chiaramente possibile. Il significato è
Ogni numero razionale può essere rappresentato da qualsiasi numero infinito di frazioni con numeri interi al numeratore e al denominatore.
Un matematico potrebbe dirlo
Un numero razionale può avere più rappresentazioni, ma può essere espresso in modo univoco nei termini più bassi come p / q, dove q è un numero intero positivo, p è un numero intero ep e q non condividono fattori primi.
L'idea è che 1/3, 18/54, -12 / (- 4) sono tre delle infinite rappresentazioni dello stesso numero che possono essere espresse più semplicemente come 1/3.
"Ogni numero razionale ha infinite rappresentazioni quante ne ha un rapporto." Ci sono, infatti, gradi di "infinitamente molti ", come ha mostrato Georg Cantor (1845-1918), il "padre della teoria degli insiemi". Un insieme di numeri ha una cardinalità , cioè un numero che è il conteggio dei suoi elementi (i suoi membri). Questo vale per insiemi di numeri con membri "infiniti", anche se non possiamo contarli effettivamente. La cardinalità dell'insieme degli interi (di cui esiste un numero infinito) è la stessa dell'insieme dei numeri razionali, che, nella teoria degli insiemi di Cantor, è chiamata ℵ0 ( aleph zero o aleph nullo ). Cantor ha mostrato che l'insieme dei numeri reali, che ha anche un numero 'infinito' di membri, ha una cardinalità più alta (ce ne sono più di loro), (non mostrerò come ha fatto qui), che si chiama ℵ1 ( aleph uno ). Questo carattere ℵ è Aleph, la prima lettera dell'alfabeto ebraico.
Cardinalità (serie infinite)