Interpretazione e unità di un elemento di covarianza nel rischio di portafoglio
Dato il rischio di portafoglio è $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ dove $\boldsymbol{\Sigma}$ è la matrice di covarianza i cui elementi diagonali $\sigma^2_{n}$ sono le varianze del rendimento delle singole attività e i cui elementi fuori diagonale sono covarianze a coppie delle attività, $\sigma_{n,\neg n}$
qual è l'interpretazione di element $\sigma_{1,2}$ nel $\boldsymbol{\Sigma}$e come descriveresti le sue unità?
Se $\sigma_{1,2}=0.1$ sarebbe corretto dire quanto segue?
"i movimenti dei rendimenti dell'asset 1 in media co-variano con i movimenti dei rendimenti dell'asset 2 del 10% delle deviazioni standard e viceversa"
Risposte
Il problema dell'interpretazione e delle unità, cioè la mancanza di una risposta facilmente intuitiva, è precisamente il motivo per cui i quanti / econometrici ecc. Tendono a rifuggire dal parlare troppo di covarianze [anche se sono assolutamente necessarie; e di uso frequente]. Quindi, se qualcosa che coinvolge le covarianze deve essere interpretato, figuriamoci spiegato, l'impostazione predefinita è di solito esprimerlo in termini di correlazione, che ha unità intuitive: limitato [-1,1] con 0 = indipendenza, ecc.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Quindi le "unità" qui sono una miscela di prodotti di tre misure, ciascuna con le proprie unità: due volatilità e una misura limitata di associazione. In quanto tali, esistono ma mancano di una spiegazione intuitiva.
Il più vicino che si può fare è esprimere la covarianza come una variazione marginale della varianza del portafoglio per unità di variazione nel prodotto dei pesi 1 e 2. Che rimane inelegante all'estremo, essere educati ;-)
Ricordiamo inoltre che la beta OLS tradizionale può essere espressa come:
Beta (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Quindi una modifica di +1 in Asset2 ha un +0,1 diviso per il suo effetto di varianza su Asset1. Il che equivale a dire che una mossa +1 sigma in Asset2 ha uno 0,1 diviso per la sua deviazione standard su Asset1. Che equivale a dire (dove Z = 1 è uno shock 1 sigma):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Quindi il modo per rendere intuitivo il tipo di affermazione che cerchi di rendere sopra resta quello di tradurre le tue covarianze in correlazioni (intuitive) senza unità. Una mossa di un sigma in 1 o 2 avrà un effetto sigma Cor (1,2) marginale sull'altro.
Comunque ti avvicini a questo, devi sempre elaborare la covarianza tramite una metrica aggiuntiva (con le sue unità, che si tratti di rendimenti assoluti, rendimenti aggiustati per il volume o pesi) per generare qui un risultato esplicativo intuitivo. La tradizionale formulazione w.Cov.w è efficiente per prevedere il rischio di portafoglio; ma quando si tratta di interpretazione e spiegazione, fallisce alla grande. Ecco perché le pubblicazioni mostrano inevitabilmente di preferenza le matrici di correlazione associate. I due ti daranno sempre gli stessi output / previsioni; con la scelta tra i due in definitiva una questione di previsione vs interpretazione (cioè di natura presentazionale).
Supponiamo quindi che il portafoglio sia interamente costituito da consols o da discount bond di singolo periodo. Questo sarebbe dubbio per le azioni perché$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ e $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$se ignori l'effetto dei dividendi. Ciò rende i rendimenti la distribuzione del prodotto di due distribuzioni di rapporto. Modelli come il CAPM sfuggono a questo problema assumendo che tutti i parametri siano noti e che nessuno stia effettuando alcuna stima. Sotto ipotesi lievi, questi rendimenti non avrebbero una matrice di covarianza definita anche nello spazio logaritmico.
Tuttavia, per quanto riguarda la tua domanda, è importante ricordare che parametri come $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$sono pensati come punti fissi nella teoria frequentista. I modelli come il CAPM non funzionano in uno spazio bayesiano perché i parametri sono variabili casuali.
Quindi, in risposta alla tua domanda, le unità di $\sigma_{i,j}$sono in rendimenti in eccesso / disavanzo quadrati con segno direzionale dall'aspettativa congiunta. Potrebbe essere pensato come un'area con una direzione.
La solita interpretazione è sempre scalata dalla varianza notandola $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: ho letto ancora un po 'e va così. (senza parlare di questo riguardo al CAPM né commentare la tua attuale discussione con Dave). Supponi di averlo fatto$\sigma_{(1,2)}$ che denota la covarianza (dei rendimenti) dell'azione 1 e dell'azione 2. Indichiamo $x$ come i rendimenti (nel campione) delle azioni 1 e $y$ come i rendimenti (nel campione) di stock 2.
Il primo passo verso l'interpretazione è fare $\sigma_{(1,2)}$ e dividerlo per la varianza campionaria dei rendimenti delle azioni 1. Chiamalo $\beta_{(1,2)}$. Quindi, una volta fatto questo,$\beta_{(1,2)}$ può essere interpretato come il coefficiente (non l'intercetta. l'altro) di una semplice regressione dei rendimenti del titolo 1 rispetto ai rendimenti del titolo_2 dove i rendimenti del titolo 2 sono la risposta ($y$) ei rendimenti dello stock 1 sono il predittore ($x$).
Il fatto che $\sigma_{(1,2)}$è 0,1 in realtà non significa molto perché deve essere diviso per la varianza campionaria dei rendimenti azionari dell'azione 1 affinché abbia l'interpretazione di regressione descritta. Ovviamente, se la varianza campionaria dei rendimenti dello stock 1 fosse 1.0, allora si potrebbe interpretare la covarianza come l'importo stimato che il rendimento dello stock 2 aumenta per ogni aumento unitario del rendimento dello stock 1.
Nota che l'apparente contraddizione a cui ho fatto riferimento nel mio post originale (che mi ha confuso) non esiste perché se capovolgessimo la regressione e rendessimo i rendimenti dell'azione 1 (x) la risposta e i rendimenti dell'azione 2 (y) il predittore, allora uno avrebbe bisogno di dividere la covarianza, $\sigma_{(1,2)}$dalla varianza campionaria dei rendimenti dell'azione 2 (y) piuttosto che dalla varianza campionaria dei rendimenti dell'azione 1 (x). Quindi, non c'è incoerenza nella definizione. Spero che questo chiarisca le cose.
Oh, inoltre, per quanto ne so, non sembra esserci alcuna relazione tra la covarianza e il R ^ 2 della regressione che ho erroneamente pensato fosse il caso. Le mie scuse per la confusione lì.