Interpretazione geometrica della matrice $A-B$
Esiste un'interpretazione geometrica della sottrazione di due matrici, con un caso speciale di $I -A$ (sottrazione di una matrice dalla matrice identità)?
Riferimento: If $A$ è una matrice idempotente, la gamma di $A$ e la gamma di $I-A$sono insiemi disgiunti. Cercando di capirlo geometricamente.
Se qualcuno può spiegare geometricamente il caso generale della sottrazione di matrice, sarà un buon aiuto.
Risposte
Non credo che ci sia una risposta generale per $A-B$, ma nel caso di $I-A$, più precisamente nel caso di $Q=I-P$ dove $P$ è una matrice di proiezione ortogonale (cioè una matrice idempotente come dici tu) su un certo sottospazio $S$, poi $Q=I-P$ è la proiezione ortogonale sul complemento ortogonale $S^{\perp}$ di $S$.
Ad esempio, in 3D, considera la linea $S$ con equazioni $x=y=z$, con vettore unitario normato $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matrice di proiezione ortogonale su$S$ è la matrice di rango uno (di rango uno perché lo spazio dell'intervallo è unidimensionale):
$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
e
$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$
è la proiezione ortogonale sul piano $S^{\perp}$ ortogonale a $S$ con l'equazione $x+y+z=0$, (con una matrice di rango 2, perché lo spazio dell'intervallo è ora bidimensionale).