Interpretazione geometrica della matrice $A-B$

Aug 17 2020

Esiste un'interpretazione geometrica della sottrazione di due matrici, con un caso speciale di $I -A$ (sottrazione di una matrice dalla matrice identità)?

Riferimento: If $A$ è una matrice idempotente, la gamma di $A$ e la gamma di $I-A$sono insiemi disgiunti. Cercando di capirlo geometricamente.

Se qualcuno può spiegare geometricamente il caso generale della sottrazione di matrice, sarà un buon aiuto.

Risposte

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 13:50

Non credo che ci sia una risposta generale per $A-B$, ma nel caso di $I-A$, più precisamente nel caso di $Q=I-P$ dove $P$ è una matrice di proiezione ortogonale (cioè una matrice idempotente come dici tu) su un certo sottospazio $S$, poi $Q=I-P$ è la proiezione ortogonale sul complemento ortogonale $S^{\perp}$ di $S$.

Ad esempio, in 3D, considera la linea $S$ con equazioni $x=y=z$, con vettore unitario normato $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matrice di proiezione ortogonale su$S$ è la matrice di rango uno (di rango uno perché lo spazio dell'intervallo è unidimensionale):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

e

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

è la proiezione ortogonale sul piano $S^{\perp}$ ortogonale a $S$ con l'equazione $x+y+z=0$, (con una matrice di rango 2, perché lo spazio dell'intervallo è ora bidimensionale).