L'esempio di Spirtes della separazione d che non porta all'indipendenza in un grafico ciclico diretto con equazioni strutturali non lineari
In Spirtes (1995) c'è un esempio (Fig. 4 a pag. 495, riprodotto sotto) di un grafo ciclico orientato con equazioni strutturali non lineari in cui$d$-separazione di$X$e$Y$dato$\{Z, W\}$non porta all'indipendenza condizionale di$X$e$Y$dato$\{Z, W\}$. Ho un problema a capire la prima parte: perché lo diciamo$X$e$Y$sono$d$-dato separato$\{Z, W\}?$Tutti e due$Z$e$W$sono collisori e li includiamo entrambi nel set di condizionamento.

Risposte
Ecco la mia spiegazione. Credo che l'autore abbia ragione. Si riduce a questo: per una relazione a doppia freccia$W\longleftrightarrow Z,$né$W$né$Z$è considerato un discendente dell'altro (a meno che tu non abbia altri bordi che li mettono in relazione). Questo è,$W$non è un discendente di$Z,$né lo è$Z$un discendente di$W.$Quindi consideriamo il tuo grafico, ma solo una direzione alla volta:

Qui, condizionamento sul set$\{W,Z\}$apre il collisore a$Z$. Tuttavia, il percorso da$X$a$Y$è ancora bloccato dalla catena a$W,$da$W$è nel set di condizionamento. Allo stesso modo, se consideriamo l'altra "metà" del grafico,

lo stesso set di condizionamento apre il collisore a$W$ma chiude la catena a$Z.$
In entrambi i contesti, le informazioni causali non possono fluire da$X$a$Y,$quindi$\{W,Z\}$ $d$-separa$X$e$Y.$
Riferimenti: Causalità: modelli, ragionamento e inferenza, 2a ed., di Judea Pearl, pp. 17-18. Si noti che nell'esempio della Fig. 1.3(a), Pearl deve ricorrere al percorso$Z_3\to Z_2\to Z_1$per dimostrarlo$Z_1$è un discendente di$Z_3;$non usa ciò che sarebbe ovvio$Z_1\longleftrightarrow Z_3$relazione.