L'immagine continua di uno spazio pseudocompatto raggiunge i suoi limiti?
Permettere $X$ essere uno spazio topologico e una qualsiasi funzione continua $f:X\to \mathbb R$ è limitato cioè $X$ è uno spazio topologico pseudocompatto. Ciò implica necessariamente che qualsiasi funzione continua a valore reale attivo $X$ raggiunge anche il suo massimo e minimo? In caso negativo, qualcuno può fornirmi un controesempio?
È chiaro che se $X$ è compatto, quindi $f(X)$ è compatto e quindi $f$ è delimitato e raggiunge i suoi limiti, ma possiamo trovare spazi $X$ che sono pseudocompatti ma non compatti. In tal caso, questo argomento non riesce. Questo mi fa cercare un esempio come menzionato sopra.
Risposte
Se $X$ è pseudocompatto e $f: X \to Y$ è continuo e su, $Y$ è anche pseudocompatto (se $g: Y \to \Bbb R$ è continuo, $g \circ f$ è continuo $X$ per $\Bbb R$ così limitato, e quindi così è $g$).
Quindi se $X$ è pseudompatto e $f: X \to \Bbb R$ è continuo, $f[X]$ è un sottospazio pseudocompatto di $\Bbb R$. Ma per gli spazi metrici , pseudocompattezza e compattezza sono equivalenti. Così$f[X]$ è compatto in $\Bbb R$ e quindi ha un massimo e un minimo, ergo $f$ raggiunge i suoi limiti.
Idea di prova diretta: se $f[X]$ non erano chiusi e $p \in \overline{f[X]}\setminus f[X]$, considera la mappa $g: X \to \Bbb R$ definito da $\frac{1}{|p-f(x)|}$ che è poi continuo e illimitato $X$. Così$f[X]$ è chiuso e il limite di $f[X]$ Dillo $\sup f[X]$ esiste e chiusura di $f[X]$ implica $\sup f[X] \in f[X]$ eccetera.