L'intuizione del motivo per cui un vicinato aperto dell'identità in un gruppo di Lie genera l'intero gruppo di Lie
L'intuizione del perché una vicinanza aperta dell'identità in un gruppo di Lie connesso genera l'intero gruppo di Lie.
modifica: penso che la prova standard per questo sia mostrare che il sottogruppo generato da ogni quartiere aperto è sia un sottogruppo aperto che chiuso di $G$ e quindi è tutto $G$ da $G$è connesso. Qualcuno può spiegarmi darmi una spiegazione più concettuale del perché questo risultato deve essere vero?
Risposte
Lascia che ti presenti una prova alternativa, che mi sembra più intuitiva - spero che ti possa aiutare. La dimostrazione dovrebbe essere chiara da sola, ma alla fine aggiungerò una spiegazione dettagliata dell'intuizione.
Un gruppo di Lie connesso è connesso al percorso.
Permettere $U$sii il tuo quartiere. Fino a prendere$U\cap U^{-1}$, possiamo presumere che $U$ è simmetrico.
Permettere $\gamma : [0,1]\to G$ essere un percorso da $e$ a qualsiasi elemento $x$; e per ogni$t\in[0,1]$, permettere $U_t$ essere un intervallo aperto abbastanza piccolo di $[0,1]$ contenente $t$ tale che $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$. Questo è ovviamente possibile, come$\gamma(t)U$ è un quartiere di $\gamma(t)$.
Poi $\bigcup_t U_t = [0,1]$ quindi per compattezza, ci sono $0<t_1<...<t_n<1$ tale che $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$.
Ma poi (con $t_0=0,t_{n+1}=1$), per ciascuno $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ deve contenere qualche elemento $s_i$ (questo è perché $[0,1]$ è connesso e ho scelto gli intervalli).
Poi $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$.
$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$e allo stesso modo $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$.
Così $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$. Ovviamente possiamo quindi indurre$n$ e ottenerlo $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, ma è ovvio: $x\in \langle U\rangle$.
Ora l'intuizione alla base di questa prova è che se tracci un percorso da$e$ per $x$, per ogni valore abbastanza piccolo di $\epsilon$, $\gamma(t)$ e $\gamma(t+\epsilon)$ differirà solo per qualcosa in $U$ (o $U^{-1}$).
Ma per compattezza di $[0,1]$, il valore necessario di $\epsilon$ è in qualche modo delimitato di seguito (quindi otteniamo la nostra partizione $t_1<...<t_n$), e questo ci permette di fare salti abbastanza grandi rimanendo dentro $U$, e quindi, in definitiva, rimanendo nel sottogruppo generato da $U$ se registriamo solo i salti.
Questo è legato al come $G$ è uno spazio "uniforme": gli spazi tra due elementi possono essere visti come spazi tra $e$e qualche altro elemento; quindi questo consente di ridurre molte domande a domande locali in giro$e$