La composizione di un polinomio intero e di un polinomio razionale con un coefficiente non intero può dare come risultato un polinomio intero?

Question

Possiamo trovare due polinomi $p(x)$ e $q(x)$, dove $p(x)$ è un polinomio monico non costante su interi e $q(x)$ è un polinomio monico su razionali con almeno un coefficiente non intero, tale che la loro composizione $p(q(x))$è un polinomio su interi? In caso contrario, come dimostrarlo?

Ad esempio let $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ e $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, poi $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, quindi non importa quali numeri interi $a_i$scegliamo, il polinomio risultante avrà un coefficiente non intero. La condizione monica è importante, poiché altrimenti potremmo moltiplicare$p(x)$con un numero tale da garantire che tutti i coefficienti siano interi. Ho provato a guardare il coefficiente di composizione per i polinomi generali, che credo dovrebbe seguire questa formula:

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (qui$a_i$ e $b_i$ sono i coefficienti di $p(x)$ e $q(x)$ con gradi $n$ e $m$, rispettivamente). Tuttavia non è affatto chiaro su quale coefficiente concentrarsi per dimostrare che darà il numero non intero.

Ciò si è verificato durante il tentativo di risolvere il https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, ma sembra abbastanza interessante di per sé.

Answer 1

In effetti, possiamo ignorare l'ipotesi che $q$è monic. La composizione$p \circ q$ non può avere tutti i coefficienti interi.

Per lasciare $p$ essere un fattore primo di un denominatore completamente semplificato di un coefficiente di $q$. Considera il più grande$k$ st $p^k$ è un fattore di qualche denominatore di a $q$coefficiente. Quindi scrivi il polinomio$q$ come $x^j w(x) / p^k + s(x)$, dove ogni numeratore completamente semplificato di $w(x)$ non è divisibile per $p$ e nessun denominatore completamente semplificato di $s(x)$ è divisibile per $p^k$, e dove $w$ha un termine costante diverso da zero. Fallo raggruppando tutti i termini con denominatori divisibili per$p^k$, ottenendo $x^j w(x) / p^k$e tutti i termini con denominatori non divisibili per $p^k$, ottenendo $x(x)$.

Permettere $n$ essere il grado di $p$e considera il coefficiente di $x^{jn}$ nel $p \circ q$. Uno dei riassunti che contribuiscono sarà$w(0)^n / p^{kn}$, che è completamente semplificato. E nessuno degli altri addendi può avere un denominatore divisibile per$p^{kn}$. Quindi questo coefficiente non è un numero intero.