La convessità stretta più l'affinità asintotica implicano una media limitata?
Non sono sicuro che questo sia esattamente a livello di ricerca, ma sto lottando per trovare una prova per la seguente affermazione:
Permettere $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ essere un $C^2$ funzione strettamente convessa.
Permettere $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ soddisfare $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ e supponiamo che $c_n \to c>c_0$.
Impostato $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $e supponiamo che $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
Domanda: Must$b_n$ essere limitato?
Ho una dimostrazione abbastanza semplice (che presento di seguito) per il caso speciale in cui $a_n=a,c_n=c$ sono sequenze costanti, ma ho difficoltà a generalizzarle.
La prova per il caso semplificato:
abbiamo $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.
Dato $x \ge r$, permettere $\lambda(x) \in [0,1]$ essere il numero unico soddisfacente $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ abbiamo $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Definire$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$
La rigida convessità di $F$ implica che $g$ è una funzione strettamente crescente di $x$.
L'assunzione $D_n \to 0$ è equivalente a $g(b_n) \to F(c)$. Da$g(b_n) \ge F(c)$ (per convessità) e $g$ è rigorosamente in aumento, concludiamo che $b_n$ deve essere limitato.
Risposte
Sì, $b_n$deve essere limitato. Supponiamo il contrario. Passando a una sottosequenza possiamo supporre che$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. abbiamo$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ e utilizzando $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ noi abbiamo $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ così $\liminf D_n>0$.