La somma limitata di immagini di base ortonormale implica limitatezza

Question

Questo è un problema tratto da "A Course in Functional Analysis" di Conway, problema II.1.3. Supponiamo$E = \{e_n\}$ è una base ortonormale per uno spazio di Hilbert $H$ e $A$ è una mappa lineare $H \to K$ (dove $K$ è anche uno spazio di Hilbert) che soddisfa $\sum_n \| Ae_n\| < \infty $. Dimostralo$A$ è limitato.

Credo che l'affermazione sia falsa in generale. Permettere$H=l^2(\mathbb{N})$ e $K = \mathbb{R}$. Possiamo estendere$E$ a una base di Hamel $E'$ tale che $\|e\| = 1$ per tutti $e \in E'$. Permettere$(f_n)$ essere qualsiasi sottoinsieme enumerabile di $E' \setminus E$. Quindi impostazione$Ae_n = 2^{-n}$, $Af_n = n$ e $Ae = 0$ per $e \in E' \setminus (E \cup (f_n))$ restituisce un operatore illimitato su $H$. Il mio ragionamento è corretto?

Answer 1

Il tuo esempio va bene. Ma l'esercizio non chiede quello che dici, chiede. Dice per dimostrarlo$A$ha un'estensione limitata unica. Il tuo esempio produce un'estensione illimitata; ciò non preclude l'esistenza di uno limitato.

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Answer 2

La tua dimostrazione è corretta, ma dovresti menzionare esplicitamente che uno spazio di Hilbert non può avere una base Hamel numerabile (che non è un risultato banale). Questo è il motivo per cui la tua sequenza$(f_n)$ esiste.