Lavorare con infinitesimi della forma d(f(x)), ad esempio d(ax), e metterli in relazione con dx (integrazione, funzione delta)

Aug 25 2020

Sto cercando di capire meglio come possiamo manipolare l'infinitesimale dx in un integrale$$\int f(x) dx$$

Mi sono imbattuto in quanto segue$$ d(\cos (x)) = -\sin(x) dx$$

Perciò

$$\int^{x=2\pi}_{x=0} dx \sin(x) \cos(x) = - \int^{x = 2\pi}_{x=0} d(\cos(x)) \cos(x) = - \dfrac{1}{2} [ \cos^{2}(x)]^{x=2\pi}_{x=0} = -\dfrac{1}{2}[1-1] = 0$$

Mi sembra che la regola della catena possa essere applicata agli infinitesimi in analogia alla differenziazione.

Tuttavia, oggi sto cercando di risolvere il seguente problema: dimostrare$$\delta(ax) = \dfrac{\delta(x)}{|a|}$$

Seguendo il suggerimento che ho guardato$$\int d(ax)\delta(ax) = 1 = \int d(ax)\delta(-ax)$$Da$$\int d(ax)\delta(ax) = 1 \quad \text{and} \quad \delta(x) = \delta(-x)$$

Da questo sembrerebbe$$d(ax) = |a|dx$$dando$$\int d(ax)\delta(ax) = |a|\int dx \delta(ax) = |a|\int dx \delta(-ax) = \int dx \delta(x) = 1$$come previsto.

avrei ingenuamente supposto$d(ax) = a \space dx$

In sintesi, non ho idea di come trattare d(f(x)) e non sono sicuro di dove cercare informazioni. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire meglio? Purtroppo finora ho seguito solo pochi corsi universitari di matematica, quindi non sono riuscito a capire nulla di troppo complesso.

Risposte

2 LL3.14 Aug 29 2020 at 19:09

La risposta di md2perpe è il buon modo per dimostrare ciò che vuoi dimostrare. Un altro modo per risolvere il tuo problema è osservare che definire la funzione Heaviside$H = \mathbb{1}_{\mathbb{R}_+}$, uno ha$H' = \delta_0$e$H(ax) = \mathrm{sign}(a)\,H(x)$. Perciò$$ \begin{align*} \delta_0(a\,x) &= H'(a\,x) = \frac{1}{a} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} (H(a\,x)) \\ &= \frac{1}{a} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} (\mathrm{sign}(a)\,H(x)) = \frac{1}{|a|} H'(x) \\ &= \frac{1}{|a|} \delta_0(x) \end{align*} $$


Aggiungerò qui qualche commento sulla notazione$\mathrm d(f(x))$. Uno dei problemi con questa notazione è che$\mathrm d x$denota la misura di Lebesgue, mentre$\delta$(che preferisco scrivere$\delta_0$) non è una funzione misurabile di Lebesgue ma anche una misura. Quindi non si dovrebbe usare l'espressione $$ ∫ \delta_0(x) \,\mathrm{d} x $$ma neanche$∫ f(x) \,\mathrm{d} x$Se$f$è una funzione misurabile di Lebesgue, e$∫ f\,\delta_0 = f(0)$Se$f$è un$\delta_0$funzione misurabile (ad esempio una funzione continua in$0$). In un certo senso, una misura è definita solo su insiemi e non su punti, quindi se ci identifichiamo$\mathrm d x$con l'indicazione di un volume locale, allora dovremmo piuttosto scrivere$$ ∫ f(x) \,\delta_0(\mathrm{d}x) $$

Un altro buon formalismo è quello dell'integrale di Stieltjes (vedi ad eshttps://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue%E2%80%93Stieltjes_integration). In questo formalismo, se$g$è una funzione di variazioni limitate, quindi si può definire$$ ∫ f\,\mathrm{d}g = \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) $$e in realtà, poiché$g$è di variazioni limitate se e solo se la sua derivata nel senso delle distribuzioni$g'$è una misura. Quindi, come distribuzione, abbiamo$$ \langle g',f\rangle = ∫ f(x) \,\mathrm{d}g(x) $$(o se non conosci le distribuzioni, diciamo che if$g'$è integrabile allora abbiamo$\int f\,g' = ∫ f \,\mathrm{d}g$). Quindi, per avere notazioni coerenti, si dovrebbe scrivere$∫ f\,\mathrm d g$per indicare che si integra rispetto alla misura$g'$, e non$g$. Ad esempio, per il delta di Dirac, questo dà$$ ∫ f(x)\,\mathrm{d}H(x) = ∫ f(x)\,\delta_0(\mathrm{d}x) = \langle \delta_0,f\rangle = f(0) $$Qui il primo integrale è ben definito come integrale di Lebesgue-Stieltjes, il secondo come integrale rispetto a una misura e il terzo come distribuzione.

1 md2perpe Aug 29 2020 at 18:37

Permettere$\varphi$essere una funzione di test.

Se$a>0$poi$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \, \varphi(x) \, dx = \{ y=ax \} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \, \varphi(y/a) \, \frac{1}{a} dy \\ = \frac{1}{a} \varphi(0) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a} \delta(x) \, \varphi(x) \, dx . $$

Se$a<0$poi$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \, \varphi(x) \, dx = \{ y=ax \} = \int_{\infty}^{-\infty} \delta(y) \, \varphi(y/a) \, \frac{1}{a} dy = - \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \, \varphi(y/a) \, \frac{1}{a} dy \\ = -\frac{1}{a} \varphi(0) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{-a} \delta(x) \, \varphi(x) \, dx . $$Quindi, per qualsiasi$a\neq 0,$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \, \varphi(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|} \delta(x) \, \varphi(x) \, dx . $$

Poiché questo è valido per tutte le funzioni di test$\varphi$noi abbiamo$$ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x). $$