Le mappe (completamente) positive sono approssimate da mappe normali (completamente) positive?
Permettere $\mathcal{H}$ denotano uno spazio di Hilbert e $B(\mathcal{H})$ denotano l'algebra di tutti gli operatori limitati su $\mathcal{H}$. Riconoscendo il duale (Banach) di$B(\mathcal{H})$ con il doppio duale degli operatori di classe traccia, si può mostrare utilizzando il risultato standard della teoria dello spazio di Banach che, qualsiasi funzionale lineare limitato $\phi$ sopra $B(\mathcal{H})$ può essere approssimato in debole$^*$topologia da operatori di classe di traccia (limitati). In altre parole,$\phi$ è approssimato dai normali funzionali lineari su $B(\mathcal{H})$. La mia domanda è la seguente:
Se il funzionale lineare $\phi$è positivo , can$\phi$essere approssimato da funzionali lineari normali positivi in debole$^*$ topologia?
Inoltre, può essere generalizzato a mappe completamente positive? La topologia qui considerata è la topologia debole delimitata. Più specificamente, se$M$ è un'algebra di von Neumann, quindi può ogni mappa completamente positiva $\Phi:M\to B(\mathcal{H})$ essere approssimato da mappe normali completamente positive in topologia limitata-debole?
Qualche riferimento su questi argomenti sarebbe apprezzato poiché sono nuovo per loro. Grazie.
Risposte
Anche la risposta alla seconda domanda è sì , e l'approssimazione può essere scelta per convergere nel punto ultrastrong$^*$ topologia.
In primo luogo, scegliendo una rete di proiezioni ortogonali a ranghi finiti $p_i \in B(\mathcal{H})$ tale che $p_i \rightarrow 1$ fortemente, le mappe completamente positive $\Phi_i : M \rightarrow B(p_i H) : \Phi_i(a) = p_i \Phi(a) p_i$ convergono a $\Phi$ nel punto ultrastrong$^*$topologia. Quindi è sufficiente occuparsi di mappe completamente positive$\Phi : M \rightarrow M_n(\mathbb{C})$. Questo può essere trovato in [BO, Corollario 1.6.3]. Da [BO, Proposition 1.5.14],$$\omega : M_n(\mathbb{C}) \otimes M \rightarrow \mathbb{C} : \omega(A) = \sum_{i,j} \Phi(A_{ij})_{ij}$$è un funzionale positivo. Scegli una rete$\omega_k$ di funzionali normali positivi su $M_n(\mathbb{C}) \otimes M$ che convergono puntualmente a $\omega$. Sempre per [BO, Proposizione 1.5.14], esiste una corrispondente rete di mappe completamente positive$$\Phi_k : M \rightarrow M_n(\mathbb{C}) : (\Phi_k(a))_{ij} = \omega_k(e_{ij} \otimes a) \; .$$ Per costruzione, le mappe $\Phi_k$ sono normali e convergono a $\Phi$ nella topologia punto-norma.
[BO] NP Brown e N. Ozawa, C$^*$-algebre e approssimazioni a dimensione finita. Studi universitari in matematica 88 . American Mathematical Society, Providence, 2008.
La risposta alla prima domanda è sì . Ciò segue dal seguente risultato più generale.
Terminologia I: spazi di Banach ordinati. Per spazio Banach preordinato intendo una coppia$(X,X_+)$ dove $X$ è un vero spazio Banach e $X_+$ è un sottoinsieme chiuso non vuoto di $X$ tale che $X_+ + X_+ \subseteq X_+$ e $\alpha X_+ \subseteq X_+$ per ogni scalare $\alpha \ge 0$ (in altre parole: $X_+$è un cosiddetto cuneo in$X$.)
Il doppio cuneo di$X_+$ è il cuneo $$ X'_+ := \{x' \in X': \, \langle x',x \rangle \ge 0 \text{ for each } x \in X_+\}. $$ Notare che $(X', X'_+)$è anche uno spazio Banach preordinato. Inoltre, per ciascuno$x \in X$ segue dal teorema di Hahn-Banach che $x \in X_+$ se e solo se $\langle x', x\rangle \ge 0$ per ciascuno $x' \in X'_+$.
Ripetendo questa procedura, si può anche definire il doppio cuneo $X''_+$ di $X_+$ nel $X''$.
Terminologia II: Polars Let$\langle X,Y\rangle$essere una doppia coppia di due spazi vettoriali reali; in altre parole,$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times Y \to \mathbb{R}$ è una mappa bi-lineare tale che $X$ separa $Y$ e $Y$ separa $X$ tramite questa mappa.
Per ogni sottoinsieme $A \subseteq X$ il sottoinsieme $$ A^\circ := \{y \in Y: \, \langle x, y \rangle \le 1 \text{ for all } x \in A \} $$ di $Y$è chiamato il polare di$A$ nel $Y$. Allo stesso modo, per ogni set$B \subseteq Y$ il sottoinsieme $$ {}^\circ B := \{x \in X: \, \langle x, y\rangle \le 1 \text{ for all } y \in B \} $$ di $X$è chiamato il polare di$B$ nel $X$.
Ora, il teorema bipolare (vedi ad esempio il teorema a pagina 126 nel libro di HH Schaefer "Spazi vettoriali topologici" (1971)) dice quanto segue:
Teorema. Il cosiddetto bipolare $\left({}^\circ B \right)^\circ$ di un sottoinsieme $B \subseteq Y$ è la chiusura dello scafo convesso di $B \cup \{0\}$ rispetto alla topologia attiva $Y$ indotto da $X$ tramite la mappatura della dualità $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
Ora possiamo applicare questo risultato agli spazi Banach preordinati:
Densità delle zeppe nelle loro zeppe bi-duali Let$(X,X_+)$ essere uno spazio Banach preordinato e identificare $X_+$ con un sottoinsieme di $X''_+$ mediante valutazione.
Teorema. Il cuneo$X_+$ è debole${}^*$-denso nella doppia zeppa $X''_+$.
Prova. Consideriamo la doppia coppia$\langle X', X'' \rangle$rispetto alla consueta dualità. Quindi si controlla facilmente che la polare di$X_+ \subseteq X''$ nel $X'$ è uguale al doppio cuneo negativo $-X'_+$. Allo stesso modo, è facile vedere che il polo di$-X'_+$ nel $X''$ è uguale al cuneo bi-duale $X''_+$. Quindi, il teorema bipolare lo implica$X''_+$ è il debole${}^*$-chiusura di $X_+$ nel $X''$.
Nota. Credo che lo stesso funzioni ancora se intersechiamo il cuneo con la palla unitaria, cioè l'intersezione di$X_+$ con l'unità la palla è debole${}^*$-denso all'incrocio di $X''_+$con l'unità palla. Tuttavia, non ho controllato i dettagli.
Applicazione alla prima domanda del PO. Lo spazio$B(\mathcal{H})$ è la complessificazione dello spazio degli operatori autoaggiunti su $\mathcal{H}$. Quindi, per applicare il risultato generale sopra, si può scegliere$X$essere l'insieme di tutti quegli operatori di classi di traccia che producono valori reali quando applicati a operatori autoaggiunti; poi$X'$ è semplicemente la parte autoaggiunta di $B(\mathcal{H})$, e $X''$ è l'insieme di tutti i funzionali lineari limitati su $B(\mathcal{H})$che mappa gli operatori autoaggiunti a valori reali. Le zeppe$X_+$, $X'_+$ e $X''_+$sono i coni standard in questi spazi. Da quando abbiamo visto sopra$X_+$ è debole${}^*$-denso dentro $X''_+$, questo produce il risultato desiderato.