Lemma per dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi

Aug 18 2020

Questo problema è tratto dall'introduzione di Gerstein a strutture e dimostrazioni matematiche . La parte b del problema consiste nel fornire un particolare tipo di prova che ci sono infinitamente molti numeri primi. Mi interessa la parte a, il lemma richiesto. La parte a è dichiarata:

Dimostralo se $n \ge 3$ allora c'è un numero primo p soddisfacente $n \lt p \le n!-1$.

C'è un suggerimento:

"Considera un primo divisore p di $(n-1)!-1$. Perché p esiste? "

Ecco il mio tentativo di una soluzione:

p esiste perché ogni numero intero ha un divisore primo. Per il k-esimo primo$p_k$, definire

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ dove $p_i$ è l'i-esimo numero primo.

Il simbolo p indica un primo divisore di $(n-1)!-1$. La mia congettura è questa$p!!+1$è il primo. Dobbiamo solo dimostrare che rientra nell'intervallo richiesto.

È ragionevole (anche se non l'ho dimostrato) supporlo $p!!+1 > n$.

$p!!$è il prodotto di meno di n numeri interi, ciascuno dei quali è minore o uguale a p, che è uguale o uguale a n. Così$p!!+1\le n!-1$ e la presunta dimostrazione, così com'è, sarebbe completa.

C'è qualche merito in questo argomento? In caso negativo, come si può dimostrare la proposizione?

Risposte

2 BrianM.Scott Aug 18 2020 at 09:46

$13!!+1=30031=59\cdot509$ non è primo, quindi l'argomento non può funzionare.

Tuttavia, è certamente vero $n!-1$ ha un primo divisore $p$e chiaramente $p\le n!-1$, quindi dobbiamo solo mostrarlo $p>n$. Da$p\mid n!-1$, chiaramente $p\not\mid n!$; ma ogni numero intero positivo$\le n$ divide $n!$, così $p$ non può essere $\le n$. Quindi, dobbiamo avere$n<p\le n!-1$.