Limite di una funzione convessa

Aug 18 2020

Avrei bisogno di un controllo sul seguente esercizio:

Permettere $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione convessa.

  • Prova che $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ e $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ esistere

  • Mostra che se entrambi i limiti sono finiti, allora $f$ è costante.


Il mio tentativo:

i) So che se $f$ è convesso, quindi $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$

Se risolvo un errore arbitrario $N>0$, allora ce l'ho per $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, grazie alla convessità, quindi questo dimostra il limite a $+ \infty$ è $+\infty$.

Lo stesso argomento si applica a $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: è sufficiente notare che per $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.


ii)

Graficamente è ovvio, ma ho qualche problema a renderlo formale.

Se il limite è finito, diciamo $L$, quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $M(\varepsilon)$ tale che per $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$

Assumere $f (x) \ne c$. Per definizione di convessità, deve contenere (per$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$

Ora, per definizione di limite, $f(M)$ e $f(M+1)$ sono inferiori a $L-\varepsilon$. Inoltre, l'argomento nella rhs della disuguaglianza può essere semplificato:

$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$

Perciò $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, il che è una contraddizione perché $M-t<M$ e quindi può essere maggiore di $L-\varepsilon$.

Così $f$ deve essere uguale a $c$. In effetti, in questo caso, è ancora (banalmente) convesso, ei limiti sono ovviamente finiti.

Risposte

TheSilverDoe Aug 18 2020 at 12:11

Suggerimento: prova a dimostrare che una funzione convessa è in diminuzione, in aumento, in diminuzione e in aumento.

AndrewKay Aug 21 2020 at 15:40

convessità di solito significa "$\le$", non"$\lt$"(altrimenti è" strettamente convesso ").

Non vuoi dimostrare che f va sempre all'infinito, perché non è necessario.

Iniziare con $x\rightarrow\infty$.

Supponiamo prima che ci siano due punti $x\lt y$ con $f(x)\lt f(y)$. Poi abbiamo in grado di dimostrare che f va all'infinito. Possiamo supporlo senza perdita di generalità$x=0$ e $f(x)=0$ (in caso contrario, scorri e sposta f finché non lo fa. Non cambierà il comportamento a cui siamo interessati.)

Considera alcuni $z>y$. Da$y>x=0$, poi $z=y/t$ per alcuni $0<t<1$. Quindi per convessità,$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ Così $f(z)\ge f(y)/t$. Come$z\rightarrow \infty$ è chiaro che $t$ va a $0$, così $f(y)/t\rightarrow\infty$ (ricorda $f(y)>0$) e quindi lo fa $f(z)$. Quindi in questo caso$f$ aumenta all'infinito.

Altrimenti la nostra ipotesi era falsa, quindi f deve essere costante oppure non costante e monotona decrescente. Supponiamo che sia quest'ultimo. Di nuovo, sposta l'origine in modo che$f(0)=0$. Poi$f(1)<0$ ed è facile dimostrarlo dalla proprietà convessità che $f(t)\le t f(1)$ e così $f$ si spegne a meno infinito.

È quindi possibile ripetere l'argomento per simmetria, per il comportamento come $x\rightarrow-\infty$.