Linkage e Cohen-Macaulay-ness

Question

Supponiamo di avere uno schema di lci ridotto con due componenti irriducibili:$X = Y \cup Z$. Voglio dire che se$Y$allora è Cohen-Macaulay$Z$è così.

Penso che questo segua dal Teorema di Eisenbund 21.23 (che ha un errore di battitura: il primo$J = (0:_A I)$dovrebbe essere cancellato). O da Peskine e Szpiro, "Liaison des variétés algébriques", Proposizione 1.3, che è essenzialmente la stessa.

Sto capendo correttamente?

Answer 1

La domanda è locale. Quindi, lascia$R$essere un anello locale che è Gorenstein.$I,J\subset R$definire$Y,Z$come nella tua domanda. Quindi hai una sequenza esatta$0\to I\to R\to R/I\to 0$e lo presumiamo$R/I$è Cohen-Macaulay. Notare che tutto$R,R/I,R/J$hanno la stessa dimensione$d$. Dualizzando, si ottiene$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. Ciò implica che la profondità di$R/J\geq d-1$. Andando modulo un insieme generale di$d-1$elementi nell'ideale massimale, si possono ridurre al caso in cui$d=1$. Ora dualizza di nuovo per ottenere,$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. È chiaro per naturalezza che la mappa$R\to R/I$è su e quindi ext è zero. Questo dice che la profondità di$R/J>0$che è quello che volevamo.

Answer 2

Non ho accesso a nessuno dei tuoi riferimenti ma qui, mi sembra, c'è un controesempio. Prendi una superficie quadrica liscia$Q$in$\mathbb P^3$, una curva liscia$C$in$Q$di bigrado$(1,3)$e un'altra curva liscia$D$in$Q$di bigrado$(3,1)$. Ciascuna di$C,D$è un quarto contorto in$\mathbb P^3$. Prendere$Y,\ Z$e$X$essere i coni affini sopra$C,\ D$e$C\cup D$, rispettivamente.$C\cup D$è un$(2,4)$intersezione completa in$\mathbb P^3$, Così$X$è lci Inoltre,$X=Y\cup Z$, mentre$Y,Z$sono coni su quartici contorti, quindi non Cohen--Macaulay.