Lunghezza d'onda di De Broglie di sistemi compositi
La lunghezza d'onda di De Broglie di un sistema composito (come una molecola) può essere derivata invece di essere calcolata dalla massa composita?
EDIT: @Dr jh, relazione interessante che hai derivato. Tuttavia, questa è una riscrittura dell'equazione di DeBroglie originale anche se utilizzando le variabili λ. De Broglie ha indovinato la sua soluzione impostando vincoli di relatività e ha trovato la frequenza della particella nel suo frame di riposo come f = m0c2h. Immagino che possiamo riformulare la mia domanda sul perché una particella acquisisca una frequenza tale da sembrare una proprietà del sistema legato in modo che possiamo ignorare per un momento che è composta. Quale fisica sottostante dà alla particella questa frequenza. In altre parole, se avessimo una grande palla sull'acqua e la vediamo oscillare su e giù, supporremmo che qualcosa la spinga, qualcosa come un'onda d'acqua. Possiamo fare qualcosa di simile qui e presumere che il sistema vincolato abbia acquisito in qualche modo la sua corretta frequenza temporale risuonando con un'onda sottostante nel vuoto? Ciò che è interessante nel modo in cui De Broglie ha derivato la sua soluzione, e l'ho visto solo in rari libri di QM, è che la particella ha un'onda spazialmente piatta (fase costante) associata che quindi, se osservata dal punto di un fotogramma in movimento, assomiglia a un onda piana lungo la direzione del moto con la nota λ. Nessun'altra forma d'onda nel frame della particella tranne l'onda di fase costante produrrebbe una tale relazione.
Risposte
La lunghezza d'onda di De Broglie di un sistema composito (come una molecola) può essere derivata invece di essere calcolata dalla massa composita?
Sì, può. Questo è materiale standard per l'atomo di idrogeno nei libri di testo di meccanica quantistica sufficientemente solidi e l'estensione a sistemi più grandi è (in gran parte, anche se non completamente) semplice. Tuttavia, devi iniziare da QM completamente sviluppato, comprese le relazioni di commutazione canoniche e l'equazione di Schrödinger.
Il modo in cui funziona è che inizi con l'equazione di Schrödinger nella forma $$ \left[ \frac{\mathbf p_p^2}{2m_p} +\frac{\mathbf p_e^2}{2m_e} -\frac{e^2}{|\mathbf r_e-\mathbf r_p|} \right]\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) $$ (dove $\mathbf p_p$ e $\mathbf p_e$ sono gli operatori per il momento del protone e dell'elettrone), e fai una trasformazione del cambio di variabili al centro di massa e alle coordinate relative, \begin{align} \mathbf R & = \frac{m_p \mathbf r_p + m_e \mathbf r_e}{m_p+m_e} \\ \mathbf r & = \mathbf r_e - \mathbf r_p, \end{align} con quantità di moto corrispondenti $\mathbf P$ e $\mathbf p$e puoi dimostrare che questo si traduce in $$ \left[ \frac{\mathbf P^2}{2M} +\frac{\mathbf p^2}{2\mu} -\frac{e^2}{|\mathbf r|} \right]\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) , $$ dove $M=m_p+m_e$ è la massa totale e $\mu = \frac{m_pm_e}{m_p+m_e}$ è la massa ridotta.
Ciò significa che la dinamica si fattorizza completamente, con la dinamica del centro di massa che obbedisce alla più semplice equazione di Schrödinger di una particella libera: $$ \frac{\mathbf P^2}{2M} \Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R,t) . $$ Ora, la relazione di de Broglie (a sua volta codificata nelle relazioni di commutazione canoniche) te lo dice $P = h/\lambda_\mathrm{COM}$, dove $\lambda_\mathrm{COM}$ è la lunghezza d'onda di de Broglie del centro di massa, ma sai anche che (nel limite dove ha senso parlare di velocità) $P = M v_\mathrm{COM}$.
La relazione che desideri deriva dal mettere insieme quei due.
Questa è una domanda interessante. La lunghezza d'onda di de Broglie di qualsiasi oggetto è data da
$λ_c = \frac{h}{mv}$
dove m è la massa dell'oggetto, v è la sua velocità e h è la costante di Planck. Per oggetti compositi, come le molecole, possiamo semplicemente sommare le masse insieme, ma una relazione per combinare le lunghezze d'onda degli atomi costituenti potrebbe essere un po 'più complicata. Proviamo a farlo per induzione. Il caso a due atomi (due corpi) (ad esempio, il$NaCl$ molecola) combiniamo le due masse di ciascun atomo in modo che
$m_T=m_1 + m_2$
dove $m_T$è la massa totale. La relazione di de Broglie per la massa di ciascuno degli atomi è:
$m_1= \large \frac{h}{λ_1v}$
$m_2= \large \frac{h}{λ_2v}$
(e ovviamente la velocità per ogni componente è identica alla velocità del tutto) mentre per le lunghezze d'onda di de Broglie composte abbiamo
$λ_T = \large \frac{h}{(m1+m2)v}$ = $\frac{h}{[(h/λ_1v)+(h/λ_2v)]v}$ = $\frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2}$
Possiamo quindi applicarlo al caso a 3 corpi e supponendo che i due componenti si combinino effettivamente come prima, allora possiamo combinare induttivamente una terza lunghezza d'onda, cioè,
$λ_T = \large \frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2 + 1/λ_3}$
E ancora per induzione possiamo estenderlo per trovare una relazione generale per la composizione delle lunghezze d'onda di de Broglie per qualsiasi numero di lunghezze d'onda componenti (o atomi componenti) N:
$$λ_T = \frac{1}{1/λ_1+1/λ_2+...+1/λ_N}$$
Questa relazione mostra che l'onda di de Broglie risultante della molecola, è il reciproco della somma dei reciproci, delle lunghezze d'onda costituenti (atomi). Questo è un risultato interessante.
Si noti che la fisica non spiegherà mai il "perché" le cose accadono. La fisica ti dirà "come" accadono le cose sulla base di osservazioni, esperimenti e ipotesi. La tua domanda è più filosofica che scientifica. Inutile dire che la dualità onda-particella è un principio centrale della fisica moderna / meccanica quantistica. Tutta la materia mostra un comportamento ondeggiante. Un fascio di particelle come gli elettroni diffratterà o interferirà allo stesso modo delle onde d'acqua. L'ipotesi di de Broglie è che la materia si comporti come un'onda. Questo è tutto. Questo comportamento è evidente a livello quantistico e per gli oggetti macroscopici è trascurabile. Il tuo confronto con una "palla da bowling che galleggia sulle onde dell'acqua" si basa su un presupposto non valido. Gli oggetti quantistici come i fotoni non hanno bisogno di un mezzo per esibire un comportamento ondulatorio. (La tua domanda sembra ricordare la domanda di Michelson-Morley, in cui è stato determinato sperimentalmente che la luce non ha bisogno di un mezzo per propagarsi). Non c'è "risonanza a un'onda sottostante nel vuoto" come dici tu.
Forse potresti esaminare la teoria delle onde pilota o la meccanica bohmiana . Ciò fornisce un'alternativa completamente deterministica alla teoria quantistica attualmente accettata. La teoria stessa non è accettata dalla fisica tradizionale e non è compatibile con la relatività. Tuttavia è interessante.