Lunghezze intere in un triangolo

Question

Se$a,b,c$sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo, dove$a$è l'ipotenusa, allora è possibile che$c$,$b$,$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$essere tutti numeri interi? L'ho derivato in un altro problema di geometria, ma non so come procedere.

Answer 1

Come$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$sono numeri interi, otteniamo$a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$o$a\in\mathbb Z$. Chiaramente,$b\neq c$e quindi,$a\in\mathbb Z$. Come$\triangle ABC$è un triangolo rettangolo con lati interi, otteniamo,$$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$per alcuni$m,n\in\mathbb N$. Permettere,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$Ora come$a(a-c)$e$a(a-b)$sono quadrati perfetti, dobbiamo avere$2(m^2+n^2)$e$m^2+n^2$come quadrato perfetto che è assurdo. Pertanto, l'ipotesi originale è falsa.

Answer 2

COMMENTO.-Se$a$allora è irrazionale$a=a_1\sqrt n$quindi abbiamo$\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$che è impossibile per$c$numero intero positivo (valido solo per$c=0$Così$c$non può essere un lato di un triangolo). Di conseguenza devi avere$(a,b,c)$è un triangolo pitagorico.

Prova ora il problema con$a,b$e$c$interi.