Mappatura di $f(z)$

Aug 20 2020

Lascia la funzione $f$ essere analitico nel piano complesso, reale sull'asse reale, 0 all'origine e non identicamente zero.

Dimostralo, se $f$ mappa l'asse immaginario in una linea retta, quindi, quella linea retta deve essere l'asse reale o l'asse immaginario.

Il mio sforzo: $f(z)$ è analitico iff $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ è anche analitico.$f(z)$ coincidere con $g(z)$sull'asse reale. Considera la sequenza${1/n}$converge a zero. Ora, usando il teorema di identità possiamo concludere$f(z)=g(z)$ su un piano complesso. $g(z)$ mappa l'asse immaginario sull'asse immaginario e così è $f(z)$. Non riesco a capire quando$f$ mappa l'asse immaginario sull'asse reale.

Risposte

1 Conrad Aug 20 2020 at 19:30

Permettere $k \ge 1$ l'ordine dello zero di $f$all'origine; dalla forma locale della funzione analitica in$0$, vale a dire, $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$, ne consegue immediatamente $f$ trasforma l'angolo $\theta$ tra due curve qualsiasi che passano per l'origine, all'angolo $k\theta$ (in particolare $f$ è conforme all'origine proprio per $k=1$)

Poiché l'angolo tra l'asse reale e quello immaginario è $\pi/2$, l'angolo tra le loro immagini è $k\pi/2$, quindi per ipotesi, l'asse immaginario viene inviato in una linea che forma a $k\pi/2$ angolo con l'asse reale per un numero intero $k \ge 1$ e ci sono solo due di queste linee, l'asse immaginario e quello reale a seconda che si tratti $k$ è pari o dispari, quindi abbiamo finito.

$z^2, z^4$ sono esempi che soddisfano l'ipotesi e in cui l'asse immaginario è inviato all'asse reale (sebbene in un caso le due immagini siano disgiunte tranne che per zero sono due semirette e nell'altro coincidono - si noti che l'immagine del reale o l'asse immaginario sotto $f$ potrebbe non essere sulla linea completa viene inviato anche), mentre $z$ è un esempio in cui viene inviato a se stesso