$\mathbb R$ con la topologia generata da $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ è pseudocompatto

Aug 16 2020

Sto cercando di risolvere la seguente domanda dai set di problemi di preparazione GRE di UChicago :

Dotare $\mathbb R$ con la giusta topologia, generata da $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ e chiama questo spazio $X$. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

(...)

(E) $X$ è pseudocompatto (ogni funzione continua $f: X \to \mathbb R$ è limitato)

Per la chiave di risposta (E) non è falso. Non ho mai sentito parlare del termine pseudocompattezza prima, ma sto cercando di capire le cose dalla definizione. Se ho capito bene, la topologia$\mathcal O_\tau$ generato dalla base $\tau$ è $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. La proprietà di base delle funzioni continue è che la pre-immagine di ogni set aperto è aperta. Usando solo questo come lo dimostriamo$f: X \to \mathbb R$ è limitato?

Risposte

3 tomasz Aug 16 2020 at 03:55

Suggerimento :$X$ha una proprietà ancora più forte: ogni funzione continua a valori reali (infatti, ogni funzione continua con valori in uno spazio di Hausdorff) è costante. Ciò deriva dal fatto che ogni due sottoinsiemi aperti non vuoti di$X$ intersecare.

2 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 04:38

Supponiamo $f:X \to \Bbb R$ è continuo, e supponiamo $f$non erano costanti. Ciò significa che ci sono$x_1 \neq x_2 \in X$ con $f(x_1) \neq f(x_2)$. Supponiamo (WLOG) che$f(x_1) < f(x_2)$ quindi trova $c\in \Bbb R$ con $f(x_1) < c < f(x_2)$. Poi$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ è aperto e $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ è aperto anche (sia per continuità di $f$) e $O_1$ e $O_2$ sono quindi non vuoti, aperti e disgiunti $X$. Tuttavia, ciò non accade mai in quanto tali si instaurano$X$ per definizione sono sempre della forma $(a, +\infty)$ e due qualsiasi di questi si intersecano (qualsiasi punto più grande del massimo dei loro punti di confine è nell'intersezione).

Quindi qualsiasi valore reale continuo $f$ sopra $X$ è costante (quindi sicuramente limitato), quindi $X$ è pseudocompatto.