Minimizzazione della varianza rispetto al deficit atteso: distribuzioni in cui la differenza è saliente

Aug 19 2020

Nella teoria del portafoglio in finanza, dato un insieme di$n$asset tra cui scegliere, spesso si selezionano le ponderazioni del portafoglio in modo da massimizzare il rendimento atteso e minimizzare alcune misure di rischio, ad esempio la varianza o l' expected shortfall *. Se consideriamo i rendimenti degli asset come variabili casuali, stiamo cercando una combinazione lineare, con pesi che si sommano fino all'unità, di variabili casuali che abbia un alto valore atteso e una bassa misura del rischio. Consideriamo solo due asset,$n=2$, e supponiamo che i rendimenti attesi di tutte le attività siano uguali alla stessa costante, ad esempio zero.

Domande:

  1. Quali sono alcune distribuzioni bivariate che consentono di minimizzare la varianza ma di mantenere un grande deficit atteso o viceversa?
  2. Quali sono alcune distribuzioni bivariate che produrrebbero pesi ottimali sostanzialmente diversi quando si minimizza la varianza rispetto alla minimizzazione del deficit atteso?
  3. Qual è la caratteristica di tali distribuzioni? (Esempi realistici dalla finanza sarebbero apprezzati.)

*$q\%$il deficit atteso (noto anche come perdita attesa della coda o valore condizionale a rischio) è semplicemente la media della coda sinistra della variabile casuale, la coda viene tagliata al$q\%$livello quantile.

L'argomento riguarda sia la finanza che la statistica. La domanda è stata precedentemente pubblicata su Cross Validated ma non ha ricevuto risposte. Ora lo ripropongo qui. Sebbene il cross posting non sia raccomandato, manterrò il post su Cross Validated nel caso in cui possa eventualmente attirare una risposta lì.

Risposte

1 gg Sep 07 2020 at 17:48

Tali calcoli diventano rapidamente disordinati anche nel caso bivariato e vengono affrontati al meglio dalle simulazioni. Detto questo, la domanda di base sulla differenza fondamentale tra l'ottimizzazione utilizzando il rischio di coda e le misure di rischio basate sulla varianza può essere illustrata da un calcolo diretto utilizzando solo il rendimento totale del portafoglio.

In parole povere, la differenza filosofica e pratica è che le misure di rischio di coda si concentrano solo sulle code mentre la varianza incorpora informazioni dall'intera distribuzione. Tutte le altre differenze derivano quindi da questa distinzione fondamentale.

Decomposizione coda/non coda

Penso che sia del tutto sufficiente analizzare il caso univariato. Permettere$S$denotiamo il rendimento totale del portafoglio (es$S = wX + (1-w)Y$per due beni$X$e$Y$con peso$0\leq w \leq 1$).

Con la probabilità della coda$0<q < 1$e il quantile di coda$s_q$( cioè$\mathbb{P}[S<s_q] = q$) possiamo distinguere tra la coda$\{ S \leq s_q\}$e non coda$\{ S > s_q\}$regioni di$S$utilizzando la variabile di Bernoulli$Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. Permettere$F_S$essere la distribuzione di$S$e$\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$essere la distribuzione condizionale superiore o non di coda e$\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$essere la distribuzione condizionale della coda inferiore. Queste distribuzioni sono distribuzioni inferiori rispettivamente superiori troncate . Inoltre, abbiamo bisogno$\hat{e}$e$\check{e}$le aspettative così come le variazioni$\hat{v}^2$e$\check{v}^2$di$\hat{F}$e$\check{F}$.

Per semplicità supponiamo che$S$ha una densità continua. Quindi$-\check{e}$è il deficit atteso di$S$. Per la legge dell'aspettativa totale usando$\mathbb{E}[S]=0$si vede che:$$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$o$$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$

Allo stesso modo, solo ora usando la legge della varianza totale , possiamo smontare la Varianza di$S$:$$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$Per il terzo termine si usa il fatto che$Z$è Bernoulli con$\mathbb{P}[Z=1]=q$e la relazione$(\ref{1})$tra i due possibili valori di$\mathbb{E}[S\mid Z].$

Interpretazione

Secondo$(\ref{2})$la varianza può essere scomposta in due varianze "entro" cioè la varianza di coda e non di coda e una varianza "intermedia" derivante dalla differenza di media tra la coda e la non coda.

Quindi sì, davvero, un grande deficit atteso guiderà la varianza. In tal senso, l'ottimizzazione della varianza e del deficit atteso forniranno indicazioni simili. Ma la varianza incorpora termini aggiuntivi, che sono completamente ignorati dall'ottimizzazione del deficit atteso. E mentre discutibilmente e in pratica spesso$\check{v}^2$sarà strettamente legato a$\check{e}$dalle code delle distribuzioni di attività disponibili, il comportamento di$\hat{v}^2$è spesso abbastanza separato e in qualche modo dominante, specialmente se$q$è molto piccolo. Sotto l'ottimizzazione della varianza ha molto senso correre un po' più di rischio di coda per sbarazzarsi della volatilità non di coda.

Questo comportamento miope è anche il motivo per cui l'ottimizzazione del deficit atteso puro (o del valore a rischio) sarà rara nella pratica. Non è una consolazione essere ben gestiti a livello di 1 anno su 100, se si subiscono regolarmente perdite.