Misura di rischio convessa di varianza
Spero che tu possa aiutarmi con questa domanda con cui faccio davvero fatica. La varianza è una misura di rischio convessa? Immagino di no, ma trovo davvero difficile trovare un controesempio.
Ecco i miei pensieri. Ho cercato di trovare un esempio in cui:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. So che$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.
Ora, se la correlazione è massima, nel qual caso$corr(X,Y)=1$poi:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.
Ma non riesco ancora a trovare alcun esempio in cui questo sia maggiore di$\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.
Puoi darmi qualche dritta? Lo apprezzo molto.
Risposte
Consideriamo il tuo caso di massima correlazione. Stai cercando di trovare valori tali che
$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
o
$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
o
$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$
o
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$
o
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$
il che chiaramente non è mai vero per nessuno$0\leq\lambda\leq 1.$Poiché LHS è maggiore nel caso di massima correlazione:
$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$
e la varianza è una misura di rischio convessa.