Modi per semplificare computazionalmente un'espressione combinatoria?

Question

Ho la seguente espressione, $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ dove $P_k$ è una funzione arbitraria che dipende solo da $k$.

Ora è facile vedere che questa espressione calcolerà le stesse cose più e più volte. Esiste una rappresentazione più compatta per questo che superi questo problema? (Non voglio una soluzione computazionale ma piuttosto una soluzione algebrica che rifletta i risparmi nel calcolo)

Answer 1

Peter Foreman nei commenti è corretto. Invertire l'ordine di sommatoria e utilizzare la formula binomiale:

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$