Molteplicità di coniugati complessi di autovalori complessi ripetuti

Question

So che per una matrice a valori reali, gli autovalori complessi vengono in coppie coniugate complesse. Tuttavia, mi chiedo cosa succede per gli autovalori complessi ripetuti (cioè gli autovalori complessi con molteplicità maggiore di 1). In quel caso, il complesso coniugato dell'autovalore complesso ripetuto ha la stessa molteplicità di quell'autovalore? Se questa affermazione è valida, come possiamo dimostrare che è vera?

Answer 1

Troviamo infatti che se una matrice reale $A$ ha un autovalore complesso $\lambda$, quindi l'autovalore coniugato $\bar \lambda$ha la stessa molteplicità algebrica e geometrica. In effetti, possiamo dire un po 'di più:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$vale a dire che tutte le strutture associate agli autovalori sono le stesse. Cioè, la forma Jordan di$A$ ha lo stesso numero e dimensioni di blocchi per $\lambda$ e $\bar \lambda$.

Per quanto riguarda la dimostrazione delle molteplicità, abbiamo quanto segue: la molteplicità algebrica è la molteplicità della radice $\lambda$ nel polinomio caratteristico $p(x) = \det(xI - A)$. Come è vero per ogni polinomio con coefficienti reali, la molteplicità della radice$\lambda$ è questo lo stesso della molteplicità della radice $\bar \lambda$.

Per la molteplicità geometrica, un approccio è il seguente: notiamo che le matrici soddisfano $\overline{A B} = \bar A \bar B$. Ne consegue che se$v$ è un autovettore (complesso) associato all'autovalore $\lambda$, Poi abbiamo $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ In altre parole, la mappa $v \mapsto \bar v$ è un invertibile $\Bbb R$-Mappa lineare tra gli autospazi di $A$ Associato a $\lambda$ e $\bar \lambda$. Ne consegue che questi spazi hanno la stessa dimensione.