Mostra che ci sono vettori arbitrari e un insieme ortonormale $V$, st $A\in\mathcal L(V)$ può essere definito nel modo dato.

Question

Permettere $V$ essere uno spazio unitario di dimensione finita e lascia $A\in\mathcal L(V)$ st $\operatorname{rank}(A)=k>0$. Mostra che esiste un insieme ortonormale$\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ e vettori $f_1,f_2,\ldots,f_k\in V$ st $$Ax=\sum_{i=1}^k\langle x, f_i\rangle e_i,\ \forall x\in V$$

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I miei pensieri:

Per definizione, $\operatorname{rank}(A)=\dim\mathscr Im(A)=k>0$.

Se ne prendiamo un po ' $x\in\mathscr Im(A)$, poi $Ax=\sum\limits_{i=k}^k\alpha_i e_i\ne0,\ \alpha_i\in\Bbb F$e se lo teniamo presente $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ è un insieme ortonormale, quindi $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ potrebbe essere una base ortonormale per $\mathscr Im (A)$, così $$\mathscr Im(A)=\operatorname{span}\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}.$$

L'insieme ortonormale $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ può essere esteso a una base ortonormale $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k,e_{k+1},\ldots,e_n\right\}$ per l'intero $V$.

Se consideriamo $e_j\in\mathscr Im(A),\ \forall j\in\{1,\ldots,k\}$, che significa$Ae_j=\sum\limits_{i=1}^k\left\langle e_j,f_i\right\rangle e_i\ne0$, Ho pensato $A$ potrebbe essere rappresentato da una matrice a blocchi $$[A]_e^e=\begin{bmatrix}E&0\\0&0\end{bmatrix}, E\in M_k(\Bbb F),$$ ma non credo di aver dimostrato nulla.

L'unica cosa di cui sono sicuro è quella $A$ è, in effetti, lineare, perché, $$\begin{aligned}A(\lambda x+\mu y)&=\sum_{i=1}^k\langle \lambda x+\mu y,f_i\rangle e_i\\&=\sum_{i=1}^k\left(\langle \lambda x, f_i\rangle e_i+\langle \mu y,f_i\rangle e_i\right)\\&=\sum_{i=1}^k\lambda\langle x,f_i\rangle e_i+\sum_{i=1}^k\mu\langle y,f_i\rangle e_i\\&=\lambda\sum_{i=1}^k\langle x,f_i\rangle e_i+\mu\sum_{i=1}^k\langle y,f_i\rangle e_i\\&=\lambda Ax+\mu Ay\end{aligned}$$

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Posso chiedere consigli su come risolvere questo compito?

Grazie in anticipo!

Answer 1

Permettere $\{e_1,...,e_k\}$ essere una base ortonormale di $\mathscr Im(A).$ Se $x \in V$, poi $Ax \in \mathscr Im(A).$ Quindi ci sono $s_1,...,s_k \in \mathbb F$, tale che

$$Ax= \sum_{j=1}^k s_j e_j.$$

Allora otteniamo $<Ax,e_j> = s_j.$ Così $<x, A^*e_j>=s_j.$

$f_j:=A^*e_j, \quad j=1,...k$ farà il lavoro.