Mostra che la proiezione ortogonale è diagonalizzabile

Aug 18 2020

Permettere $S \subset V$ essere un sottospazio di spazio vettoriale dimensionale finito $V$. Mostra che la proiezione ortogonale$P_S:V \to S$è diagonalizzabile. Non so come iniziare questa domanda. Qualcuno può aiutarmi a iniziare con un suggerimento?

Risposte

3 f3qgrgdf Aug 18 2020 at 22:58

Permettere $u_1,\ldots,u_d$ essere una base ortonormale di $V$ in modo che il primo $k$ i vettori di base si trovano nel sottospazio $S$. Poi$P_S(u_j)=u_j$ per $j\le k$. Anche,$P_S(u_j) = 0\cdot u_j$ per $j > k$.

Maggiori dettagli: una trasformazione lineare$T:V\rightarrow V$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$costituito da autovettori della trasformazione. Una proiezione ortogonale$P_S$ funge da identità nel sottospazio $S$ e mappa qualsiasi elemento di $S^\perp$ (i vettori ortogonali a $S$) per $0$. $P_S$ è definito da $P_S^2=P_S$ e $P_S^*=P_S$. L'immagine della proiezione ortogonale$P_S$ sarà $S\subset V$ e il kernel sarà $S^{\perp}$.

Perché lo sappiamo $\dim(S)+\dim(S^{\perp}) = \dim(V)$e lo sappiamo $P_{S}$ funge da identità su $S$ e agisce come $0$ sopra $S^{\perp}$, possiamo diagonalizzare $P_{S}$ da qualsiasi base $u_1,\ldots, u_d$ con il primo $\dim(S)$ elementi in $S$ e l'ultimo $\dim(S^{\perp})$ elementi in $S^{\perp}$. Tale base esiste sempre, ad esempio estendendo una base di$S$ a una base di $V$, quindi applicando il processo di Gram Schmidt.

Nota che $P_S$ è effettivamente diagonalizzabile unitariamente / ortogonalmente, poiché possiamo diagonalizzarlo con una base ortogonale.

1 user1551 Aug 19 2020 at 05:00

La condizione di ortogonalità è ridondante. Ogni proiezione attiva$V$, ortogonale o no, è diagonalizzabile.

Apporach 1: il polinomio minimo di $P$ deve dividere $x(x-1)$.

Approccio 2: come $P$ è una proiezione, abbiamo $V=PV\oplus\ker(P)$ e puoi costruire un'autovettura di $P$.