Mostra l'aspettativa di minimo della martingala fermata $-\infty$

Question

Considera la random walk martingala $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ dove $X_k$ sono uniformemente delimitati, iid con $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Permettere$a>0$ e impostare $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Dimostralo$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Stavo pensando di definire $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ e usando la martingala $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Otterremo quindi (utilizzando MCT e boundedness e$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Ciò implica$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Non sono sicuro di come procedere da qui.

Answer 1

Cosa ne pensi di questo?

Per ogni $N < \infty$, dal teorema di campionamento opzionale, abbiamo $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. E$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ come $N, k \to \infty$.

Così $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ converge a un numero negativo come $N,k \to \infty$.

Permettere $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Adesso$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Se$E(U) > -\infty$, poi $E(U I_{U < -k}) \to 0$ come $k \to \infty$, che è una contraddizione.