Mostralo$U_1 \oplus U_2=V$

Question

Permettere$V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$essere un$\mathbb{R} $spazio vettoriale di tutte le mappature da$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

Mostralo$U_1 \oplus U_2=V$.

Qualcuno può darmi un suggerimento su come iniziare?

La mia idea iniziale era di mostrarlo$U_1 \cap U_2 = {0}$e$\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$è facile e ti lascerò gestire. Per la seconda proprietà usa il fatto che$f=g+h$dove$g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$e$h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

Suggerimento: ogni funzione può essere scritta come somma di una funzione pari e dispari. Ad esempio: per qualsiasi$g\in V$, notare che$g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
Per$U_1\cap U_2$, pensa alla funzione che è dispari e pari entrambe!