Mostrare la convergenza di una serie data la convergenza di una successione

Question

Sto lavorando su un problema che mi chiede di mostrare quanto segue: data una sequenza di numeri reali,$(x_n), n=0,1,2,...$tale che$x_n \rightarrow x$, mostralo$$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$Il mio approccio è provare a dimostrarlo in modo simile a come dimostriamo la formula della serie geometrica (che sarebbe semplice se$(x_n)$erano una sequenza costante). Quindi guardando le somme parziali della serie sopra, vediamo che:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$Da qui non posso proprio lasciare$p\rightarrow 1^{-}$eppure, altrimenti tutto si cancellerebbe. Quindi voglio usare il fatto che$x_n$converge a$x$, e sospetto che dovrò sfruttare il fatto che da allora$x_n \rightarrow x$, il$(x_m - x_{m-1})$i termini stanno per$0$per grandi$m$. Tuttavia, non so ancora come gestire i termini iniziali nella somma in cui il$(x_m - x_{m-1})$i termini non sono trascurabili.

Answer 1

$\epsilon>0$:

vogliamo dimostrare che esiste a$\delta$per cui se$p\in\left(1-\delta,1\right)$poi$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. sappiamo che x_n converge a x, quindi esiste un N tale che per ogni n>N si ha:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. sappiamo anche che:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. vediamo la seconda parte:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$

quindi abbiamo:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$

ma per p che è abbastanza vicino a 1, la prima parte va a zero e la seconda va a x meno epsilon. Quindi puoi mostrare per il delta destro il limite inferiore di cui hai bisogno. Il limite superiore può essere mostrato in modo molto simile.

Spero che questo sia comprensibile