$N(\frac{1}{2},2)=3$ per i vettori in uno spazio di Hilbert

Question

È arrivata questa domanda riguardante il numero massimo di vettori quasi ortogonali che si possono incorporare in uno spazio di Hilbert. Lo affermano$N(\frac{1}{2},2)=3$, e quella costruzione esplicita dei vettori usando la sfera di Bloch lo mostra. Tuttavia, non riesco a capire cosa intendono con questo. Il loro ulteriore esempio di$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$ha senso per me, poiché questi sono semplicemente gli autovettori degli operatori pauli. Ma come si fa a dimostrare che il numero di vettori che soddisfano i seguenti criteri è solo 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Ecco un modo molto visivo di pensare a questo (non pretendo che sia una prova rigorosa). Permettere$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Ciascuno di questi ha sovrapposizioni di 1/2. Ora disegnali sulla sfera di Bloch. Sono tre vettori equidistanti attorno a un grande cerchio. Non puoi spingere l'uno più vicino all'altro perché ciò aumenterebbe la loro sovrapposizione.

Ora posso aggiungere un quarto vettore? Qualunque sia il vettore che aggiungo nella sfera, deve formare un angolo di$\pi/2$ o meno con uno dei vettori esistenti, e quindi si sarebbero sovrapposti $1/\sqrt{2}$o maggiore. Quindi, almeno per questa scelta di tre vettori, non posso aggiungere un quarto e mantenere il valore di$\epsilon$.

Con questa immagine in mente, probabilmente puoi anche convincerti che questi vettori devono essere selezionati in questo modo.$|V_1\rangle$è arbitrario, posso semplicemente orientare la vista in modo che sia nella parte superiore della sfera. Per$|V_2\rangle$ Ho una libertà di rotazione arbitraria su $V_1\rangle$asse, quindi ho appena scelto la componente ortogonale reale e positiva. A quel punto, la mia scelta di$|V_3\rangle$ è stato risolto: c'era solo una scelta possibile che poteva avere la corretta sovrapposizione.

Se la versione visiva non lo fa per te, sono sicuro che qualcuno lo formalizzerà matematicamente ...