$n$-th derivata della funzione olomorfa in termini di derivate parziali.
Data una funzione olomorfa $f(z)$, definiamo la derivata $f'(z)$ come $$ \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} $$Usando questa definizione, puoi provare le equazioni di Cauchy-Riemann analizzando il limite derivativo da diversi percorsi. Fare questo e scrivere$f$ come $f = u + iv$ ottieni $$ f'(z) = u_x + iv_x = v_y - i u_y $$ La mia domanda è, se definiamo il file $n$-esima derivata come $f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'$e sappiamo che il file $n$-derivativo esiste, c'è un modo per ottenere una formula per il $n$-th derivata di $f$ in termini di derivati parziali di $u$ e $v$?
Risposte
Puoi applicare lo stesso argomento a $f'= U+iV$: $$ f'' = U_x + iV_x = u_{xx} + i v_{xx} \, . $$ La generalizzazione ai derivati di ordine superiore dovrebbe essere ovvia ora.