Norma dell'operatore di un operatore hermitiano

Question

Voglio dimostrare il seguente risultato menzionato in Sadri Hassani:-

La prima disuguaglianza, cioè$|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$è semplice dalla definizione della norma di un operatore. Per la disuguaglianza inversa, l'autore ha menzionato la seguente procedura.

Non riesco a capire come abbiano ottenuto la disuguaglianza utilizzando il risultato di cui sopra. Inoltre, penso che il risultato per$4\langle Hx|y\rangle $dovrebbe avere un$-i$invece di$i$nell'uguaglianza.

Answer 1

Con le scelte date per$x$e$y$, ce l'hai$\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, quindi l'uguaglianza si riduce a$$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$Anche,$\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Quindi, usando l'identità del parallelogramma,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}